Основной закон и его вывод
Число ядер подчиняется уравнению dN/dt = −λN, откуда N = N₀·e^(−λt). Период полураспада T½ определён условием N = N₀/2, поэтому T½ = ln 2 / λ. Подставляя λ, получаем N = N₀·2^(−t/T½).
Показатель n = t / T½ — число периодов, прошедших за время t. Формула одинаково работает для целых и дробных n, и именно в такой форме её запоминают школьники и инженеры.
Примеры с реальными изотопами
У иода-131 период полураспада около 8 суток. За 24 суток проходит три периода, и остаётся 12,5 % исходного количества. У углерода-14 период около 5730 лет, и за 11 460 лет, то есть два периода, остаётся 25 %.
При n = 2,5 остаётся около 17,68 %, а после десяти периодов — всего 0,5¹⁰ = 1/1024, меньше одной тысячной. Эти значения стоит запомнить: они служат быстрой проверкой расчётов и учебных задач.
Как правильно найти число периодов
Время наблюдения и период полураспада нужно выразить в одинаковых единицах: сутках, годах или секундах. Затем разделите t на T½. Если период указан в годах, а время в месяцах, переведите одно из значений.
Если известна не доля, а количество вещества, умножьте найденную долю на начальную массу, число ядер или активность. Активность убывает по тому же закону, что и число ядер, поэтому формула годится и для расчёта оставшейся активности источника.
Где применяют расчёт и что не учитывается
Закон используют в радиохимии, ядерной медицине, радиоуглеродном датировании и при оценке времени хранения радиоактивных материалов. Простая формула помогает прикинуть, через сколько периодов активность упадёт до приемлемого уровня.
Расчёт не определяет безопасность: допустимые уровни излучения и правила обращения с источниками устанавливаются нормативами и специалистами по радиационной безопасности. Он также не учитывает дочерние радионуклиды, вклад которых в общую активность может быть значительным.
Как перейти к процентам, активности и времени
Чтобы получить процент оставшихся ядер, умножьте результат на 100. Для трёх периодов 0,125 превращается в 12,5 %, для десяти — в 0,0977 %. Те же числа применимы к активности источника, потому что она пропорциональна числу нераспавшихся ядер.
Чтобы найти время, за которое останется заданная доля f, решите формулу относительно n: n = log₂(1/f). Для остатка 10 % получается n ≈ 3,32 периода, для 1 % — около 6,64 периода. Эти значения удобны для оценки сроков выдержки.
Проверьте свой ответ простым сопоставлением: при n = 0 результат равен единице, при n = 1 — половине, а при больших n он стремится к нулю, но никогда не становится нулём строго. Любая другая картина указывает на ошибку в единицах времени.
Помните, что период полураспада — свойство конкретного изотопа и не зависит от массы образца и от химического состояния вещества. Поэтому один и тот же расчёт подходит и для миллиграмма, и для килограмма, если речь идёт об одном изотопе.
Формула расчёта
N / N₀ = (1/2)ⁿ, n = t / T½
Проверенные примеры
Прошло 3 периода полураспада.
N/N₀ = 0,5³ = 0,125, то есть 12,5 % ядер. Для периода около 8 суток (иод-131) это 24 суток.
n = 2,5.
N/N₀ = 0,5^2,5 ≈ 0,17678, то есть около 17,68 %.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Разделите время наблюдения на период полураспада, оба в одинаковых единицах.
- Введите полученное число n, оставьте основание 0,5.
- Нажмите «Вычислить» и получите долю нераспавшихся ядер.
- Умножьте на 100, чтобы получить проценты, или на начальное число ядер — чтобы получить остаток.