Почему счёт импульсов подчиняется закону Пуассона
Каждое ядро распадается независимо от остальных, а вероятность распада за короткое время мала. Когда много слабых независимых шансов складываются на фиксированном интервале, число успехов описывается распределением Пуассона с единственным параметром λ — средним числом импульсов.
Важная особенность закона: дисперсия равна среднему, а значит, стандартное отклонение счёта равно корню из λ. При среднем 100 импульсов типичный разброс составляет около 10, то есть примерно 10 %, а при среднем 4 — уже около 50 %.
Что означает вероятность «k и более» импульсов
В практических задачах редко интересует точное число импульсов. Обычно проверяют порог тревоги или подозрительный результат: «не слишком ли много импульсов для фона?». Это вероятность верхнего хвоста P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1).
Калькулятор суммирует вероятности всех значений от 0 до k − 1 и вычитает сумму из единицы. Для λ = 4 и k = 1 получается 1 − e^(−4) ≈ 0,9817, для k = 4 около 0,5665, а для k = 8 лишь около 0,0511.
Числовой пример для фона в четыре импульса
Пусть за десять секунд счётчик в среднем регистрирует λ = 4 импульса. Нужно узнать, как часто встречаются интервалы, в которых их 7 и больше. По формуле P(X ≥ 7) = 1 − Σ_{i=0}^{6} e^(−4)·4^i/i! ≈ 0,1107.
Значит, примерно каждый девятый десятисекундный интервал даст такой счёт при совершенно неизменном фоне. Поэтому один «всплеск» до 7 импульсов ещё не доказывает появления источника: подтверждать его нужно повторными измерениями.
Как правильно определить среднее значение λ
Параметр λ равен произведению средней скорости счёта на длительность интервала. Скорость лучше определять по длинной серии измерений фона: чем она длиннее, тем меньше собственная погрешность самой оценки λ.
Если в измерении участвует источник, складывайте фон и вклад источника. Единицы времени для скорости и интервала должны совпадать: 0,4 импульса в секунду за 10 секунд даёт λ = 4, а не 0,4 и не 40.
Мёртвое время и другие границы применимости
После каждого срабатывания газоразрядный счётчик некоторое время нечувствителен. При малых скоростях счёта это неважно, но при высоких часть импульсов теряется, и реальный разброс становится меньше пуассоновского.
Модель не учитывает дрейф фона, космические всплески и неоднородность источника. Также помните, что расчёт иллюстрирует статистику счёта и не служит дозиметрическим заключением о безопасности.
Как выбрать порог тревоги и когда применять нормальное приближение
Чтобы случайно не принимать фон за источник, порог выбирают так, чтобы при чистом фоне вероятность его превышения была мала. Для среднего фона λ = 4 вероятность получить 9 и более импульсов равна около 2,1 %, 10 и более — около 0,81 %, а 11 и более — около 0,28 %. Подбирайте k, меняя значение в калькуляторе, пока вероятность не станет приемлемой для вашей задачи.
При больших λ распределение Пуассона близко к нормальному со средним λ и стандартным отклонением √λ. Для λ = 100 вероятность получить 120 и более импульсов составляет около 2,8 %, а 130 и более — около 0,23 %. Точный расчёт по Пуассону надёжнее приближения, особенно на хвосте распределения, где различия заметны.
Формула расчёта
P(X ≥ k) = 1 − Σ_{i=0}^{k−1} e^(−λ)·λ^i / i!
Проверенные примеры
За 10 секунд счётчик в среднем даёт 4 импульса. Какова вероятность увидеть 7 и более?
λ = 4, k = 7. P(X ≥ 7) = 1 − Σ_{i=0}^{6} e^(−4)·4^i/i! ≈ 0,1107, то есть около 11 %.
Среднее число импульсов 10, интересует вероятность получить 15 и более.
P(X ≥ 15) ≈ 0,0835: примерно в одном измерении из двенадцати счёт окажется не ниже 15.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Определите среднюю скорость счёта в импульсах в секунду или минуту и умножьте её на длительность измерения: получится λ.
- Введите λ в первое поле и порог k во второе: это число импульсов, которое вы проверяете на превышение.
- Нажмите «Вычислить» и прочитайте P(X ≥ k): долю интервалов, в которых будет не менее k импульсов.
- При необходимости изменяйте k и смотрите, как быстро вероятность падает при удалении порога от среднего.