Идея: сколько раз нужно разделить число ядер пополам
Каждый период полураспада T½ число нераспавшихся ядер уменьшается вдвое. После n периодов остаётся N = N₀·(1/2)ⁿ. Если известно, во сколько раз K = N₀/N нужно уменьшить количество вещества, то 2ⁿ = K, откуда n = log₂ K. Эта обратная задача решается логарифмом, а не подбором.
Результат безразмерен и может быть дробным. Время получают умножением на T½: t = n·T½. Поэтому один и тот же коэффициент ослабления требует для разных радионуклидов одного и того же числа периодов, но совершенно разного времени.
Типовые значения: 2, 10, 100 и 1000 раз
Уменьшение в 2 раза — один период, в 4 — два, в 8 — три, в 1024 — ровно десять. Отсюда запоминающееся правило: десять периодов ослабляют число ядер чуть более чем в тысячу раз, а двадцать — более чем в миллион (в 1 048 576 раз). Уменьшение в 10 раз соответствует log₂ 10 ≈ 3,32 периода, в 100 раз — 6,64.
Если задана доля, а не кратность, то K = 1 / доля. Остаток 12,5 % — это K = 8, три периода; остаток 1 % — K = 100, около 6,64 периода; остаток 0,1 % — K = 1000, около 9,97 периода. Калькулятор принимает именно кратность, потому что это единственный аргумент логарифма.
Пример: когда останется один процент
Пусть условный радионуклид имеет период полураспада 8 суток. Остаток 1 % соответствует K = 100, поэтому n = log₂ 100 ≈ 6,644 периода и время t ≈ 6,644·8 ≈ 53,2 суток. Через 6 периодов (48 суток) остаётся ещё 1,56 %, через 7 (56 суток) — 0,78 %, так что 1 % достигается между ними.
Пример учебный: период 8 суток взят для расчёта и не относится к конкретному препарату. Для реальных радионуклидов значение T½ берут из справочника, а решения о хранении, обращении и защите принимают по нормам радиационной безопасности, а не по этому расчёту.
Почему в поле стоит основание логарифма 2
Операция логарифма принимает любое основание. Основание 2 сразу даёт число периодов полураспада. Если ввести основание e, получится ln K = t/τ, то есть число средних времён жизни τ = T½/ln 2, а при основании 10 — число десятичных порядков ослабления: уменьшение в 1000 раз равно трём порядкам, или 9,97 периода.
Поле оставлено видимым, чтобы формулу можно было проверить, но менять его нужно только осознанно. Кратность должна быть положительной: при K < 1 результат отрицателен и означает рост количества, чего при распаде без источника быть не может.
Ограничения и допущения
Формула предполагает простой экспоненциальный распад одного радионуклида. Если у вещества есть радиоактивные дочерние продукты, оно поддерживается источником или выводится из организма по биологическим законам, суммарная активность убывает иначе. Для очень малого числа ядер распад случаен, и расчёт описывает среднее ожидание.
Результат — расчётная оценка для учебных задач и оценки времени выдержки. Любые работы с радиоактивными материалами подчиняются требованиям радиационной безопасности и выполняются обученным персоналом.
Формула расчёта
n = log₂(N₀ / N), t = n · T½
Проверенные примеры
Сколько периодов полураспада нужно, чтобы осталось 1 % ядер? Период условного радионуклида — 8 суток.
K = 100, n = log₂ 100 ≈ 6,644, время t ≈ 6,644 · 8 ≈ 53,2 суток.
Число ядер должно уменьшиться в 8 раз.
n = log₂ 8 = 3 периода.
Нужно ослабление в тысячу раз.
n = log₂ 1000 ≈ 9,966 — чуть меньше десяти периодов, так как 2¹⁰ = 1024.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Определите кратность ослабления K: для остатка 1 % она равна 100, для остатка 12,5 % — 8.
- Введите K в первое поле и оставьте основание логарифма 2.
- Нажмите «Вычислить» и получите число периодов полураспада n.
- Умножьте n на период полураспада T½, чтобы найти время t = n · T½.