Какой треугольник образуют предмет и тень
Вертикальный катет — это высота h, горизонтальный катет — длина тени s, гипотенуза — солнечный луч, скользящий по вершине предмета и касающийся земли в конце тени. Угол между лучом и землёй и есть искомый угол возвышения φ.
Поскольку тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему, получаем tg φ = h / s. Поэтому угол находят как арктангенс этого отношения: чем длиннее тень относительно высоты, тем ниже стоит солнце.
Формулы и смысл обозначений
Основная формула φ = arctg(h / s). Второй острый угол β = 90° − φ показывает отклонение луча от вертикали, то есть зенитный угол. Длина луча вычисляется по теореме Пифагора: l = √(h² + s²).
Результаты можно получить в градусах или радианах. Радианы нужны, если угол пойдёт в дальнейшие формулы анализа, а для практических измерений проще пользоваться градусами.
Разобранный числовой пример
Пусть шест высотой 2 м отбрасывает тень 3 м. Отношение h/s равно 2/3, арктангенс даёт 33,69°. Зенитный угол равен 56,31°, а длина луча — около 3,61 м.
Для сравнения: человек ростом 1,8 м с тенью 1,8 м даёт отношение 1 и угол ровно 45°. Если тень втрое длиннее предмета, солнце стоит примерно на 18,4° над горизонтом.
Откуда берутся ошибки измерения
Главные источники погрешности — наклон предмета и неровная поверхность. Если шест отклонён от вертикали, катет h фактически короче, и угол получается заниженным. Проверяйте вертикаль отвесом или уровнем телефона.
Вторая ошибка связана с краем тени: из-за конечного размера солнечного диска он размыт. Берите середину размытой полосы и повторите замер несколько раз. При низком солнце малая ошибка в длине тени сильно меняет результат.
Где пригодится расчёт
Метод применяют в школьных опытах по определению широты и сезонной высоты солнца, при оценке теней от будущего забора или здания, в съёмке, когда нужен угол падения света, и при сравнении с табличными данными о высоте солнца.
Результат — оценка для горизонтальной площадки и ясной погоды. Для точного положения Солнца на конкретную дату и место используют астрономические расчёты и справочники, а не тень одного предмета.
Как проверить результат без калькулятора
Быструю проверку даёт таблица известных углов: при отношении высоты к тени 0,58 угол близок к 30°, при 1 — к 45°, при 1,73 — к 60°. Если ваше отношение лежит между этими значениями, ответ тоже должен лежать между соответствующими углами.
Полезно измерить тень дважды с интервалом в несколько минут. Если угол заметно меняется, значит, солнце быстро движется, и результат относится к конкретному моменту. Запишите время вместе с углом, чтобы сравнивать наблюдения в разные дни и сезоны.
Ведение журнала наблюдений
Если вы фиксируете угол солнца в течение дня, записывайте время, высоту предмета, длину тени и найденный угол в таблицу. Такой ряд данных показывает, как высота солнца растёт к полудню и снижается к вечеру, и пригоден для школьного проекта.
Сравнивая записи за разные месяцы, можно заметить, что в полдень летом тени короче, чем зимой. Это прямое следствие изменения высоты солнца в течение года, и калькулятор помогает выразить этот эффект в градусах.
Формула расчёта
φ = arctg(h / s), β = 90° − φ, l = √(h² + s²)
Проверенные примеры
Высота шеста 2 м, тень на ровной площадке 3 м. Каков угол солнца над горизонтом?
φ = arctg(2/3) = 33,69°. Угол луча к вертикали 90° − φ = 56,31°, длина луча √13 ≈ 3,61 м.
Человек ростом 1,8 м отбрасывает тень длиной 1,8 м. Какой угол у солнца?
Отношение h/s = 1, поэтому φ = arctg(1) = 45°, а длина луча 1,8·√2 ≈ 2,55 м.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Измерьте высоту вертикального предмета или возьмите известное значение.
- Измерьте длину его тени по горизонтали от основания до конца тени в тех же единицах.
- Выберите градусы или радианы и нажмите «Вычислить».
- В результате «Угол против катета a» — это угол солнца над горизонтом, а «Угол против катета b» — угол луча к вертикали.