Число как точка и вектор на плоскости
Каждому комплексному числу z = x + iy соответствует точка с координатами (x, y), где ось абсцисс — вещественная, а ось ординат — мнимая. Расстояние от начала до точки называется модулем, а угол от положительного направления оси x — аргументом.
Модуль находят по теореме Пифагора: r = √(x² + y²). Аргумент φ связан с координатами равенствами x = r·cos φ и y = r·sin φ, а значит, tg φ = y / x, если x ≠ 0.
Зачем нужна функция atan2
Обычный арктангенс видит лишь отношение y/x и поэтому не отличает точку (−4, 3) от точки (4, −3): у обеих отношение равно −0,75. Но их аргументы различаются на 180°, ведь числа лежат в противоположных четвертях.
Функция atan2(y, x) принимает обе координаты отдельно, определяет четверть и возвращает правильный угол. Для x < 0 и y = 0 она даёт 180°, для x = 0 и y > 0 — 90°, для x = 0 и y < 0 — −90°.
Пример: число −4 + 3i
Здесь x = −4, y = 3, точка расположена во второй четверти. Арктангенс отношения −0,75 равен −36,87°, но верный аргумент получается прибавлением 180°: 143,13°. Это значение и возвращает atan2(3, −4).
Модуль числа равен √(16 + 9) = 5, поэтому тригонометрическая форма имеет вид 5(cos 143,13° + i sin 143,13°). Для числа 3 − 3i получаем угол −45°: точка в четвёртой четверти.
Что делать с найденным аргументом
Зная модуль и аргумент, легко перемножать и возводить в степень: при умножении модули перемножаются, а аргументы складываются. Формула Муавра для степеней основана именно на этом свойстве.
Если нужен угол в диапазоне 0–360°, прибавьте полный оборот к отрицательному результату. Например, −90° для числа −2i соответствует 270°. Все такие значения описывают то же самое направление.
Типичные ошибки
Частая ошибка — подставить в поле «мнимая часть» число вместе с буквой i или перепутать x и y. В поле вводится только коэффициент при i. Другая ошибка — забыть о четверти и использовать обычный арктангенс.
Не забывайте, что аргумент нуля не существует, а аргумент положительного вещественного числа равен нулю, отрицательного — 180°.
Переход к полярной и показательной форме
Найденный аргумент вместе с модулем задаёт число в полярной форме: z = r(cos φ + i sin φ) или z = r·e^{iφ}. Показательная запись особенно удобна при умножении, делении и возведении в степень, потому что превращает их в действия с модулями и углами.
Например, для z = 1 + i получаем r = √2 и φ = 45°, поэтому z⁸ = (√2)⁸·e^{i·360°} = 16. Без аргумента такое вычисление пришлось бы вести через громоздкое раскрытие скобок.
Геометрический смысл знаков
Знаки x и y сразу показывают четверть: плюс-плюс — первая, минус-плюс — вторая, минус-минус — третья, плюс-минус — четвёртая. Проверьте, что ответ калькулятора попадает в диапазон этой четверти, и тем самым исключите ошибку ввода.
Отдельно проверьте граничные случаи: на положительной вещественной оси аргумент равен 0°, на положительной мнимой — 90°, на отрицательной вещественной — 180°, на отрицательной мнимой — −90°. Эти четыре ориентира помогают быстро ловить опечатки.
Формула расчёта
arg z = atan2(y, x), −π < arg z ≤ π
Проверенные примеры
Найти главное значение аргумента z = −4 + 3i.
Точка лежит во второй четверти, arg z = atan2(3, −4) = 143,13°. Модуль |z| = 5.
Найти аргумент z = 3 − 3i.
Точка в четвёртой четверти, arg z = atan2(−3, 3) = −45°.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Запишите число в виде z = x + iy и выделите x и y.
- Введите x в поле вещественной части, y — в поле мнимой части.
- Выберите градусы или радианы и нажмите «Вычислить».
- Полученный угол используйте в тригонометрической форме z = r(cos φ + i sin φ).