Что такое угловой коэффициент
Возьмём две точки на прямой и найдём приращения координат: Δx по горизонтали и Δy по вертикали. Отношение Δy/Δx одинаково для любой пары точек этой прямой и называется её угловым коэффициентом.
В прямоугольном треугольнике с катетами Δx и Δy угол при основании равен углу наклона α, а тангенс острого угла — отношение противолежащего катета к прилежащему. Отсюда сразу следует k = Δy/Δx = tg α.
Какие углы допустимы
Угол наклона отсчитывают от положительного направления оси Ox против часовой стрелки; для прямой он лежит в пределах от 0° до 180°, не включая 180°. Горизонтальная прямая имеет угол 0° и коэффициент 0.
Если α острый, тангенс положителен и прямая возрастает. Если α тупой, прямая убывает и k отрицателен. Для 135° получаем −1, для 120° — около −1,732, для 150° — около −0,5774.
Числовые примеры
Угол 45° даёт k = 1: на каждую единицу вправо прямая поднимается на единицу. Угол 30° даёт k ≈ 0,5774, угол 60° — около 1,7321. Заметьте, что при росте угла от 0° до 90° коэффициент растёт от нуля неограниченно.
Для проверки решите обратную задачу: если k = 2, то угол составляет arctg 2 ≈ 63,43°. Подставив 63,43° обратно в калькулятор, вы получите число, близкое к 2.
Вертикальная прямая и угол 90°
При α = 90° тангенс не определён: cos 90° = 0, а делить на нуль нельзя. Геометрически вертикальная прямая x = c не является графиком функции и в виде y = kx + b не записывается. Калькулятор в этом случае сообщает, что значение не определено.
Близкие к 90° углы дают очень большие коэффициенты: при 89° получается около 57,29. Поэтому небольшая ошибка в измерении почти вертикального наклона приводит к большой ошибке в k.
Уклон в процентах и перпендикулярные прямые
Уклон в процентах равен k·100. Угол 5° соответствует k ≈ 0,0875, то есть уклону около 8,75 %; угол 45° — уклону 100 %. Процентную шкалу часто используют, когда нужно сказать, на сколько единиц высоты приходится 100 единиц длины.
Две прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно −1. Прямые с углами 45° и 135° имеют коэффициенты +1 и −1, их произведение −1, и они действительно перпендикулярны.
Типичные ошибки
Основная ошибка — ввести угол в градусах при выбранных радианах или наоборот. Угол 45 без пометки превращается в абсурдный результат около 1,62, если интерпретировать его как 45 радиан. Всегда проверяйте переключатель единиц.
Вторая ошибка — измерять угол не от оси Ox, а от оси Oy, либо брать острый угол между прямой и осью для убывающей прямой. Тогда знак k окажется неверным. Для убывающей прямой используйте тупой угол, отсчитанный против часовой стрелки.
Формула расчёта
k = tg α = Δy / Δx
Проверенные примеры
Найдите угловой коэффициент прямой, наклонённой под углом 45° к оси Ox.
k = tg 45° = 1: при увеличении x на 1 значение y тоже растёт на 1.
Чему равен k для угла 135°?
k = tg 135° = −1: прямая убывает, y падает на 1 при росте x на 1.
Найдите k и уклон в процентах.
k = tg 30° ≈ 0,5774, то есть уклон около 57,74 %.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Определите угол между прямой и положительным направлением оси Ox, отсчитывая против часовой стрелки.
- Введите угол и выберите градусы или радианы.
- Нажмите «Вычислить»: значение — угловой коэффициент k.
- Подставьте k в уравнение y = kx + b и найдите b по любой точке прямой.