Треугольник внутри параллелограмма
Возьмём параллелограмм со сторонами a и b и углом α при вершине A. Диагональ, соединяющая два других конца сторон, отсекает треугольник с вершиной A. Две его стороны равны a и b, а угол между ними равен α.
Третья сторона этого треугольника — искомая диагональ. Для её вычисления достаточно теоремы косинусов: d² = a² + b² − 2ab·cos α. Диагональ лежит против угла α, поэтому при остром α она короткая, а при тупом — длинная.
Числовой пример: стороны 8 и 5, угол 60°
Подставим числа: d² = 64 + 25 − 2·8·5·cos 60° = 89 − 40 = 49. Значит, диагональ против угла 60° равна 7. Это та редкая ситуация, когда результат получается целым числом.
Площадь треугольника равна 8·5·sin 60°/2 ≈ 17,3205. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника, поэтому его площадь вдвое больше: 8·5·sin 60° ≈ 34,641.
Вторая диагональ и смежный угол
Смежный угол параллелограмма равен 180° − α. Диагональ, лежащая против него, вычисляется той же формулой, но с косинусом смежного угла, а он отличается знаком: cos(180° − α) = −cos α. Значит, d₂² = a² + b² + 2ab·cos α.
Для сторон 8 и 5 при угле 120° получаем d₂² = 89 + 40 = 129, то есть d₂ ≈ 11,358. Проверка: d₁² + d₂² = 49 + 129 = 178 = 2·(64 + 25). Это известное свойство параллелограмма — сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов сторон.
Частные случаи: прямоугольник, ромб, квадрат
При α = 90° параллелограмм — прямоугольник, и формула превращается в теорему Пифагора: для сторон 3 и 4 диагональ равна 5, а обе диагонали одинаковы. Площадь равна a·b = 12.
Если a = b, параллелограмм — ромб. При стороне 5 и угле 60° короткая диагональ равна 5 и треугольник получается равносторонним. Квадрат со стороной 6 даёт диагональ 6√2 ≈ 8,485.
Какой угол вводить
Угол α должен быть именно между сторонами a и b, которые вы ввели. Если на чертеже дан другой угол, найдите нужный: соседние углы параллелограмма в сумме дают 180°, а противоположные равны.
Угол вводится строго между 0 и 180° (или между 0 и π радиан). Значения на границах вырождают фигуру в отрезок. Вблизи 180° диагональ приближается к сумме сторон: для сторон 7 и 3 при 179° она равна около 9,9997, то есть почти 10.
Типичные ошибки
Первая ошибка — считать значение «Площадь» площадью всего параллелограмма. Она относится к треугольнику, поэтому результат нужно удвоить. Вторая — принимать «Периметр» за периметр параллелограмма: это периметр треугольника.
Третья ошибка — путать диагонали. Введённый угол всегда соответствует диагонали против него. Если вам нужна другая диагональ, замените угол на смежный. Не забывайте и о единицах: градусы и радианы выбираются явно.
Формула расчёта
d² = a² + b² − 2ab·cos α, S = a·b·sin α
Проверенные примеры
Найдите диагонали и площадь параллелограмма со сторонами 8 и 5 и углом 60°.
d₁² = 64 + 25 − 80·0,5 = 49, d₁ = 7. Площадь треугольника 17,3205, значит площадь параллелограмма 34,641. Вторая диагональ при угле 120°: d₂² = 89 + 40 = 129, d₂ ≈ 11,358.
Какова диагональ против угла 30°?
d² = 100 + 16 − 80·cos 30° ≈ 46,718, d ≈ 6,835. Площадь параллелограмма 10·4·sin 30° = 20.
Сторона 6, угол 90°.
d = 6√2 ≈ 8,485, площадь параллелограмма 36.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите длины двух смежных сторон a и b в одних единицах.
- Укажите угол α между ними и выберите градусы или радианы.
- Нажмите «Вычислить». Строка «Третья сторона» — диагональ, лежащая против угла α.
- Удвойте значение «Площадь», чтобы получить площадь параллелограмма. Для второй диагонали повторите расчёт с углом 180° − α.