Диагональ прямоугольника по сторонам

Вывод формулы из теоремы Пифагора

Диагональ разбивает прямоугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника. Их катеты равны сторонам a и b, а гипотенуза — диагонали d. По теореме Пифагора d² = a² + b², откуда d = √(a² + b²).

Для прямоугольника 6 × 8 получаем d = √(36 + 64) = 10. Для 60 × 40 см диагональ равна √5200 ≈ 72,11 см: именно столько составляет самая длинная прямая вставка в такой ящик.

Целые диагонали и пифагоровы тройки

Диагональ получается целой, если стороны образуют пифагорову тройку: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25. Любое увеличение сторон в одно и то же число раз даёт новую тройку: 6-8-10, 9-12-15 и так далее.

Если тройки нет, диагональ иррациональна. Например, у квадрата 1 × 1 она равна √2 ≈ 1,4142, а у прямоугольника 2 × 3 — √13 ≈ 3,6056. Калькулятор показывает значение с нужной точностью.

Свойства диагоналей

Обе диагонали прямоугольника равны, пересекаются в середине и делятся там пополам. Точка пересечения равноудалена от всех четырёх вершин, поэтому вокруг прямоугольника можно описать окружность с диаметром d.

Из этого следует радиус описанной окружности R = d / 2. Для прямоугольника 6 × 8 он равен 5. Эти факты часто используют в задачах на окружность и вписанные углы.

Проверка прямого угла по диагоналям

Если у четырёхугольника с попарно равными противоположными сторонами обе диагонали равны, то все его углы прямые. На практике это простой способ проверить разметку: измерьте обе диагонали и сравните.

Например, для заготовки 120 × 90 см обе диагонали должны быть равны 150 см. Разница в несколько сантиметров показывает, что заготовка перекошена. Допустимое отклонение определяется требованиями конкретной работы.

Площадь и периметр

Вместе с диагональю калькулятор выводит площадь S = a·b и периметр P = 2·(a + b). Для 6 × 8 это 48 и 28 в соответствующих единицах: квадратных и линейных.

Площадь и диагональ связаны: при заданной диагонали наибольшую площадь имеет квадрат, в нём S = d² / 2. Для d = 10 это 50, а у прямоугольника 6 × 8 площадь меньше — 48.

Ограничения формулы

Формула применима только к прямоугольнику. Для параллелограмма с острым углом диагонали различны, и их длины находят по теореме косинусов. Для коробки нужна пространственная диагональ √(a² + b² + c²).

Размеры вводятся без учёта допусков и толщины материала. Результат — геометрическая длина, и при выборе реальных изделий её следует сверять с паспортными размерами.

Пример: поместится ли предмет в ящик

Самый длинный прямой предмет, который можно положить плашмя в прямоугольную коробку, не длиннее её диагонали. В ящик 60 × 40 см входит палка до 72 см, но не 73 см.

Реальные внутренние размеры меньше наружных из-за толщины стенок, поэтому вводите внутренние. Для ящика 58 × 38 см диагональ равна √(3364 + 1444) = √4808 ≈ 69,34 см.

Формула расчёта

Проверенные примеры

Как пользоваться онлайн-калькулятором

1. Введите длину и ширину прямоугольника в одной и той же единице.
2. Нажмите «Вычислить».
3. Диагональ получится в этих же единицах; в таблице результатов также указаны площадь и периметр.