Какие операции понимает калькулятор
Формула записывается привычными символами или словами: отрицание ¬ (или «!», NOT, НЕ), конъюнкция ∧ (или «&», AND, И), дизъюнкция ∨ (или «|», OR, ИЛИ), исключающее ИЛИ ⊕ (или «^», XOR), импликация → (или «->»), эквиваленция ↔ (или «<->»), а также штрих Шеффера ↑ и стрелка Пирса ↓. Переменные — латинские буквы от A до Z, константы — 0 и 1.
Подойдёт любой удобный способ ввода: можно скопировать формулу из учебника с настоящими логическими знаками или набрать её на клавиатуре в ASCII. Пробелы игнорируются, а скобки задают порядок действий. При ошибке — лишней скобке, пропущенной операции или незнакомом символе — калькулятор укажет, что именно не так.
Приоритеты операций
Без скобок операции выполняются в таком порядке: отрицание, затем конъюнкция и штрих Шеффера, затем исключающее ИЛИ, затем дизъюнкция и стрелка Пирса, потом импликация и в конце эквиваленция. Импликация правоассоциативна: запись A → B → C означает A → (B → C), а остальные операции выполняются слева направо.
Если сомневаетесь в приоритетах, расставьте скобки: на результат они не повлияют, зато исключат неоднозначность. Это правило особенно важно для импликации, у которой в разных учебниках встречаются разные соглашения о порядке вычисления цепочек.
Таблица истинности и нормальные формы
Таблица содержит все наборы значений переменных, которых для n переменных ровно 2ⁿ, а в последнем столбце — значение формулы. Допускается до шести переменных, то есть до 64 строк. Можно показывать все строки, только истинные или только ложные, а значения записывать как 0 и 1 либо как И и Л.
По таблице строятся совершенная дизъюнктивная нормальная форма — дизъюнкция конъюнкций по истинным наборам — и совершенная конъюнктивная нормальная форма по ложным. По вектору значений сразу видно тип формулы: тавтология, противоречие или выполнимая формула, и это важная основа для упрощения логических выражений.
Сравнение двух формул
В режиме сравнения вводятся две формулы F и G, переменные объединяются, и для каждого набора вычисляются обе. Формулы равносильны, если векторы совпадают, и калькулятор показывает все наборы, на которых результат различается, — это контрпримеры для проверки упрощений.
Кроме равносильности проверяется логическое следование: из F следует G, если нигде F не истинна при ложной G. Так можно проверить закон де Моргана, правило контрапозиции или сокращение вида (A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B) = A. Переменные, которых нет в одной формуле, на её значения не влияют.
Полином Жегалкина и классы Поста
При включённых дополнительных параметрах формула раскладывается в полином Жегалкина — сумму по модулю два произведений переменных. Степень полинома равна наибольшему числу переменных в слагаемом; линейными называют функции со степенью не выше первой, например A ⊕ B ⊕ 1.
Классы Поста T₀, T₁, S, M и L описывают сохранение нуля и единицы, самодвойственность, монотонность и линейность. Система функций полна, если для каждого класса в ней есть функция вне этого класса. Одиночные штрих Шеффера и стрелка Пирса не принадлежат ни одному классу, поэтому каждая из них образует полную систему.
Формула расчёта
F = ⋁ (конъюнкции по истинным наборам) = ⋀ (дизъюнкции по ложным); A → B = ¬A ∨ B; A ⊕ B = A + B (mod 2)
Проверенные примеры
Три переменные, режим таблицы.
Вектор значений 10100010, истинных наборов три, СДНФ из трёх конъюнкций.
Режим сравнения.
Формулы равносильны, различающихся наборов нет.
Расширенные параметры включены.
Функция не принадлежит ни одному из пяти классов Поста, образует полную систему.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Выберите режим и введите формулу, используя символы или слова.
- Укажите обозначение значений и фильтр строк.
- Для сравнения введите вторую формулу.
- Прочитайте вектор значений, нормальные формы и таблицу, при необходимости включите алгебраический анализ.