Лампа и два переключателя: логика XOR

Управление светом из двух мест

В коридоре или на лестнице свет часто включают и выключают в разных местах. Каждый переключатель имеет два положения, и важно не какое именно положение занято, а то, совпадают ли положения двух клавиш.

Если положения одинаковы, цепь разомкнута и лампа не горит; если различны — замкнута и лампа горит. Так задаётся таблица из четырёх строк: 00 даёт 0, 01 даёт 1, 10 даёт 1, 11 даёт 0.

Определение исключающего ИЛИ

Исключающее ИЛИ A ⊕ B истинно ровно тогда, когда истинно одно из двух высказываний, но не оба сразу. Через основные связки оно записывается как (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B).

Эквивалентное определение: A ⊕ B = (A + B) mod 2. Сложение по модулю два объясняет, почему операция удобна для вычисления чётности и для сравнения двух бит.

Свойство переключения состояния

Главное свойство XOR: если инвертировать один из входов, результат инвертируется. Поэтому любое нажатие любой клавиши меняет лампу на противоположное состояние, независимо от положения второй клавиши.

Если же инвертировать оба входа одновременно, результат не изменится: 0 ⊕ 0 = 1 ⊕ 1 = 0. Это объясняет, почему две подряд сделанные смены двумя разными людьми возвращают свет к прежнему состоянию.

Разбор четырёх состояний

Пусть исходно оба переключателя в положении 0, лампа не горит: 0 ⊕ 0 = 0. Сдвинем первый переключатель в 1: 1 ⊕ 0 = 1, лампа загорелась. Теперь сдвинем и второй: 1 ⊕ 1 = 0, лампа погасла.

Если вернуть первый переключатель в 0, получим 0 ⊕ 1 = 1: лампа горит снова. Четыре комбинации исчерпывают все возможные состояния, и калькулятор подтверждает каждую из них.

Три и больше переключателей

XOR ассоциативен: A ⊕ B ⊕ C можно вычислять в любом порядке. Лампа с тремя пунктами управления горит при нечётном числе единиц. В реальных схемах для этого добавляют перекрёстные переключатели.

Правило чётности работает для любого числа входов: результат равен остатку от деления числа единиц на 2. Именно поэтому XOR применяют для контрольных битов в передаче данных.

Границы логической модели

Расчёт не заменяет электрическую схему: он ничего не говорит о проводах, напряжении, нагрузке и защите. Реальное соответствие «положение — состояние лампы» устанавливается при монтаже.

Работы с электропроводкой следует поручать квалифицированному электрику. Калькулятор годится для обучения булевой логике и проверки таблицы истинности, но не для проектирования щитка или розеток.

Как использовать модель для обучения

Модель удобна, чтобы запомнить таблицу XOR: ответ единица, когда входы различаются. Вводите все четыре пары и записывайте результаты, а затем проверьте себя, не глядя на калькулятор. Для запоминания помогает мысль о «несовпадении» входов.

Попробуйте также построить XOR из других связок: И, ИЛИ и НЕ. Равенство (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B) даёт тот же результат. Такие упражнения закрепляют связь между операциями и показывают, что XOR не является независимой основой логики.

Формула расчёта

Проверенные примеры

Как пользоваться онлайн-калькулятором

1. Условно примите положение 0 за исходное для каждого переключателя.
2. Введите 0 или 1 для первого и второго переключателя.
3. Нажмите «Вычислить».
4. Результат 1 означает, что в принятой модели лампа горит; 0 — что не горит.