Что записано в матрице
Пусть вектор состояния — численность молоди и взрослых. За один шаг новая молодь получается из прежней молоди и из взрослых, а взрослых пополняет молодь, дожившая до шага. В матрице эти правила записаны построчно: первая строка отвечает за рождение, вторая — за переход и выживание.
Чаще всего берут схему «молодь не остаётся молодью»: тогда первое число равно нулю, а плодовитость взрослых стоит во второй позиции первой строки. Так устроен основной пример: 0, 2, 0,5, 0,5.
Зачем нужны собственные значения
Если вектор состояния умножается на матрицу без изменения направления, множитель называется собственным значением. Спустя много шагов структура популяции приближается именно к такому направлению, а численность каждый шаг умножается на наибольшее λ.
Для матрицы 2×2 они находятся из квадратного уравнения λ² − (a + d)λ + (ad − bc) = 0. Сумма значений равна следу, а произведение — определителю, что удобно для проверки.
Числовой пример
Для матрицы 0, 2, 0,5, 0,5 след равен 0,5, а определитель −1. Корень из 0,0625 + 1 равен 1,0308, поэтому λ₁ = 0,25 + 1,0308 = 1,2808 и λ₂ = −0,7808. Проверка: сумма равна 0,5, произведение −1.
Значение 1,28 означает рост примерно на 28 % за шаг. Если шаг равен году, то через пять лет численность вырастет в 1,28⁵ ≈ 3,4 раза. Вторым значением можно пренебречь: его модуль меньше единицы, и со временем его влияние затухает.
Порог устойчивости
Граница между ростом и убылью — λ₁ = 1. Матрица 0, 1, 0,5, 0,5 даёт λ₁ = 1 и λ₂ = −0,5, то есть численность в долгосрочной перспективе постоянна. Снижение плодовитости или выживания переводит λ₁ ниже единицы, и популяция начинает убывать.
Этот порог помогает сравнивать меры охраны: калькулятор покажет, как меняется λ₁ при улучшении выживания молоди с 0,5 до 0,6 или при другой плодовитости.
Как проверить результат
У любой матрицы 2×2 сумма собственных значений равна следу, а произведение — определителю. Для матрицы 1, 1, 1, 0 след равен 1, определитель −1, значения 1,618 и −0,618: их сумма 1, произведение −1. Если равенства не выполняются, числа введены неверно.
Для диагональной матрицы собственные значения совпадают с диагональными элементами. Матрица 2, 0, 0, 3 даёт значения 3 и 2: две стадии не влияют друг на друга и растут независимо.
Что в модель не входит
Матрица предполагает постоянные коэффициенты. В реальности рождаемость падает при нехватке ресурсов, а выживание зависит от погоды, поэтому результат описывает идеализированный рост без ограничений среды.
Калькулятор поддерживает лишь вещественные собственные значения матрицы 2×2. Для трёх и более стадий требуется другой расчёт, а при комплексных значениях, которые отвечают колебаниям структуры, он сообщит об ошибке.
Формула расчёта
λ₁,₂ = (a + d)/2 ± √(((a + d)/2)² − (ad − bc))
Проверенные примеры
Матрица 0 2 / 0,5 0,5: каждая взрослая особь даёт 2 молодых, молодь переживает шаг с долей 0,5, взрослые тоже 0,5. Каков рост?
След 0,5, определитель −1. λ = 0,25 ± √(0,0625 + 1) = 0,25 ± 1,0308, то есть λ₁ = 1,2808, λ₂ = −0,7808. Популяция растёт на 28 % за шаг.
Матрица 0 1 / 0,5 0,5.
След 0,5, определитель −0,5, λ = 0,25 ± 0,75, то есть λ₁ = 1 и λ₂ = −0,5. Наибольшее значение равно 1: численность в долгосрочной перспективе постоянна.
Матрица 1 1 / 1 0.
λ₁ = (1 + √5)/2 = 1,618: так растёт отношение соседних чисел Фибоначчи.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Составьте матрицу: a — доля молоди, остающейся молодью, b — число молодых на одну взрослую особь, c — доля молоди, переходящая во взрослые, d — выживание взрослых.
- Впишите числа a, b, c, d через пробел по строкам.
- Нажмите «Вычислить» и посмотрите значение λ₁: это множитель роста численности за один шаг.
- Если λ₁ больше 1, популяция в долгосрочной перспективе растёт; если меньше 1, убывает.