Как устроена матрица переходов
Состояний в цепи конечное число, например «солнечно» и «дождливо». Элемент pᵢⱼ — вероятность перейти из состояния i в состояние j за один шаг. Строки поэтому состоят из неотрицательных чисел, сумма которых равна единице.
Такую матрицу называют стохастической по строкам. Калькулятор не проверяет эти условия, поэтому перед вводом стоит сложить числа в каждой строке.
Номер состояния в строке и в столбце один и тот же: диагональные элементы показывают вероятность остаться на месте. Если диагональный элемент равен единице, состояние поглощающее: выйти из него нельзя, и в произведении оно сохраняется.
Откуда берётся умножение матриц
Чтобы попасть из i в j за два шага, система должна побывать в каком-то промежуточном состоянии k. Вероятность пути i → k → j равна pᵢₖ·qₖⱼ, а все варианты k несовместны, поэтому их вероятности складываются.
Сумма Σₖ pᵢₖ·qₖⱼ по определению является элементом произведения матриц. Для однородной цепи, где правила не меняются, оба шага описывает одна матрица, и результат равен P².
Разобранный пример с погодой
Пусть из солнечного дня в солнечный переходят с вероятностью 0,9, а из дождливого в солнечный — с вероятностью 0,5. Тогда за два дня из солнечного в солнечный получаем 0,9·0,9 + 0,1·0,5 = 0,86, в дождливый — 0,14.
Для дождливого старта: 0,5·0,9 + 0,5·0,5 = 0,7 в солнечный и 0,3 в дождливый. Строки по-прежнему суммируются в единицу, как и положено вероятностям.
Порядок матриц и разные этапы
Если правила на втором шаге иные, например в выходные поведение меняется, нужно ввести две матрицы. Первой записывается матрица первого шага, второй — второго, потому что умножение матриц не обладает свойством перестановки.
Чтобы получить распределение по состояниям через два шага, начальное распределение записывают строкой и умножают на найденную матрицу. Это вторая операция, и в калькуляторе она делается отдельным запуском.
Типичные ошибки
Первая ошибка — транспонировать матрицу: записать вероятности «в состояние j из i» по столбцам. Тогда результат придётся читать иначе, а порядок сомножителей изменится. Здесь принята запись по строкам.
Вторая ошибка — вводить проценты вместо долей. Значения 90 и 10 вместо 0,9 и 0,1 дают огромные числа вместо вероятностей.
Границы применимости
Марковское свойство — модельное допущение. Если будущее зависит от более далёкой истории, например от погоды трёх предыдущих дней, двухшаговая матрица даст неточный прогноз.
Оценки вероятностей переходов по данным сами содержат погрешность. Результат нужно рассматривать как следствие принятой модели, а не как гарантию.
Наконец, число шагов в задаче должно быть именно два. Для трёх и более шагов результат умножают на следующую матрицу, а для очень длинных горизонтов используют предельное распределение, которое здесь не вычисляется.
Формула расчёта
P⁽²⁾ᵢⱼ = Σₖ pᵢₖ · qₖⱼ
Проверенные примеры
Из солнечного дня в солнечный переходят с вероятностью 0,9, в дождливый 0,1; из дождливого — 0,5 и 0,5. Найти вероятности через два дня.
Из солнечного в солнечный: 0,9·0,9 + 0,1·0,5 = 0,86, в дождливый 0,14. Из дождливого: 0,5·0,9 + 0,5·0,5 = 0,7 и 0,3. Матрица P² = [0,86 0,14; 0,7 0,3].
P = [0,5 0,3 0,2; 0,2 0,6 0,2; 0,1 0,3 0,6]. Найти P².
Первая строка: 0,5·0,5 + 0,3·0,2 + 0,2·0,1 = 0,33; 0,5·0,3 + 0,3·0,6 + 0,2·0,3 = 0,39; 0,5·0,2 + 0,3·0,2 + 0,2·0,6 = 0,28. Сумма равна 1.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Составьте матрицу переходов: строка i содержит вероятности перехода из состояния i во все состояния.
- Проверьте, что сумма чисел в каждой строке равна 1.
- Введите число состояний и обе матрицы построчно; для однородной цепи вставьте одну и ту же матрицу дважды.
- Нажмите «Вычислить» и читайте результат: строка — откуда, столбец — куда.