Как составить систему уравнений
Пусть изделие A расходует 2 единицы первого ресурса, изделие B — одну, изделие C — одну. Если изготовлено x₁, x₂ и x₃ штук, то расход первого ресурса равен 2x₁ + x₂ + x₃. Приравняем его к запасу и получим первое уравнение.
Аналогично составляют уравнения для остальных ресурсов. В итоге получается матричная запись A·x = b, где строки матрицы — ресурсы, а столбцы — изделия.
Как решается система
Калькулятор применяет исключение Гаусса с выбором главного элемента: система приводится к ступенчатому виду, после чего неизвестные находятся обратной подстановкой. Метод универсален для квадратных невырожденных систем.
Единственное решение существует, если определитель матрицы не равен нулю. Если же строки линейно зависимы, ресурсы не независимы, и однозначного ответа нет.
Разобранный пример
Для расхода 2-1-1, 1-2-1, 1-1-3 и запасов 100, 90, 130 получаем x₁ ≈ 27,143, x₂ ≈ 17,143, x₃ ≈ 28,571. Подставив в первое уравнение, имеем 2·27,143 + 17,143 + 28,571 = 100.
Простой двухизделийный пример: 3x₁ + 2x₂ = 120 и x₁ + 4x₂ = 100 дают x₁ = 28, x₂ = 18. Подстановка убеждает, что оба ресурса расходуются полностью.
Как интерпретировать результат
Решение имеет смысл, только если все x неотрицательны, а при штучном производстве ещё и целые. Дробный ответ означает, что полное использование всех ресурсов при целых количествах невозможно.
Отрицательное значение сигнализирует, что запасы не согласованы с расходом: чтобы полностью израсходовать один ресурс, пришлось бы «выпустить отрицательное число» изделий.
Роль проверки невязки
Невязка — это максимальная разность между левой и правой частями уравнений после подстановки решения. При хорошо обусловленной матрице она составляет порядка 10⁻¹² и меньше.
Большая невязка говорит о почти вырожденной системе, когда малые изменения данных приводят к большим изменениям ответа. Тогда результат требует осторожной оценки.
Чем это отличается от оптимизации
Система находит режим, при котором все ресурсы расходуются полностью. Реальные задачи часто требуют максимизировать прибыль при ограничениях-неравенствах; это уже линейное программирование, которое выходит за рамки данного калькулятора.
Тем не менее решение системы полезно как первое приближение и как проверка баланса материалов, когда допустимо только полное использование запасов.
Проверка и масштабирование решения
Прежде чем использовать ответ, подставьте его в каждое уравнение вручную. Если для какого-то ресурса расход отличается от запаса, значит, в матрице допущена опечатка или перепутан порядок столбцов.
Если запасы изменятся пропорционально, то решение изменится в той же пропорции: удвоив все запасы, вы удвоите объёмы выпуска. Это следствие линейности системы и удобный способ быстро оценить сценарии.
Для сценариев с разными запасами можно пересчитывать задачу несколько раз, оставляя матрицу расхода без изменений. Матрица описывает технологию, а вектор запасов — текущие условия.
Если ресурсов больше, чем изделий, система переопределена и точного решения, как правило, нет; тогда ищут приближённое решение методом наименьших квадратов, а не обычное исключение.
Помните и про единицы: расход должен измеряться в тех же единицах, что и запас, например килограммах сырья на штуку при запасе в килограммах.
Формула расчёта
A·x = b, x = A⁻¹·b
Проверенные примеры
Расход ресурсов на единицу изделий A, B, C: первый ресурс 2, 1, 1; второй 1, 2, 1; третий 1, 1, 3. Запасы 100, 90, 130.
Решение системы: x₁ = 27,143, x₂ = 17,143, x₃ = 28,571.
Уравнения 3x₁ + 2x₂ = 120 и x₁ + 4x₂ = 100.
x₁ = 28, x₂ = 18.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Составьте таблицу расхода: строки — ресурсы, столбцы — изделия.
- Запишите матрицу по строкам через пробел и введите запасы.
- Укажите число изделий и нажмите «Вычислить».
- Проверьте, что найденные количества неотрицательны и невязка близка к нулю.