Постановка матричной задачи
В QR-разложении столбцы Q имеют единичную длину и взаимно перпендикулярны, а R содержит коэффициенты представления исходных столбцов через Q. Для прямоугольной матрицы здесь используется экономный вариант разложения. В конкретном случае «QR-разложение прямоугольной матрицы — анализ чувствительности» исходная матрица записывается следующим образом: A(δ)=[a+δ b; c d; 1 t], Δx=x(δ)−x(0). Для расчёта «QR-разложение прямоугольной матрицы — анализ чувствительности» это относится к матрице A(δ)=[a+δ b; c d; 1 t], Δx=x(δ)−x(0). Соответствующий аспект: постановка матричной задачи, пункт 1.
Один из коэффициентов первой строки изменяется на δ относительно базового состояния. В результате можно сравнить текущий ответ с решением исходной системы без возмущения. Поэтому параметры здесь задают настоящие элементы строк или правых частей; каждое поле имеет прямое отношение к исследуемой системе. Для расчёта «QR-разложение прямоугольной матрицы — анализ чувствительности» это относится к матрице A(δ)=[a+δ b; c d; 1 t], Δx=x(δ)−x(0). Соответствующий аспект: постановка матричной задачи, пункт 2.
Входные параметры и условия
Первые значения задают Исходный элемент A₁₁, Элемент A₁₂, Элемент A₂₁. Остальная часть формы содержит Элемент A₂₂, Элемент A₃₂, Первое наблюдение, Второе наблюдение, Третье наблюдение, Возмущение элемента A₁₁, Относительный порог ранга. Эти данные нужны для построения A, наблюдений y и численного контроля результата. Для расчёта «QR-разложение прямоугольной матрицы — анализ чувствительности» это относится к матрице A(δ)=[a+δ b; c d; 1 t], Δx=x(δ)−x(0). Соответствующий аспект: входные параметры и условия, пункт 1.
Используйте заполненный пример: Исходный элемент A₁₁ = 2; Элемент A₁₂ = 0.6; Элемент A₂₁ = -0.3; Элемент A₂₂ = 1.8; Элемент A₃₂ = 0.9; Первое наблюдение = 1.3; Второе наблюдение = 2.1; Третье наблюдение = 0.8; Возмущение элемента A₁₁ = 0.05; Относительный порог ранга = 1e-07. Для диагностики важно сопоставлять ранг и величину остатка, поскольку даже небольшая ошибка в одном ограничении меняет статус точного решения. Для расчёта «QR-разложение прямоугольной матрицы — анализ чувствительности» это относится к матрице A(δ)=[a+δ b; c d; 1 t], Δx=x(δ)−x(0). Соответствующий аспект: входные параметры и условия, пункт 2.
Порядок численного вычисления
При неполном ранге второе ортогональное направление дополняется независимо от зависимого столбца матрицы. Это сохраняет равенство A=QR и позволяет не выдавать вырожденную матрицу за невырожденную. Для модели A(δ)=[a+δ b; c d; 1 t], Δx=x(δ)−x(0) сначала определяются сингулярные числа, а затем вычисляются необходимые матричные произведения или коэффициенты разложения. Для расчёта «QR-разложение прямоугольной матрицы — анализ чувствительности» это относится к матрице A(δ)=[a+δ b; c d; 1 t], Δx=x(δ)−x(0). Соответствующий аспект: порядок численного вычисления, пункт 1.
Небольшая поправка к коэффициенту не гарантирует столь же небольшого изменения решения, особенно при большом числе обусловленности. Поэтому вычисляются абсолютная и относительная чувствительности. В вычислителе применяется заданный порог отсечения слабых сингулярных направлений; его можно учитывать при интерпретации ранга и коэффициентов. Для расчёта «QR-разложение прямоугольной матрицы — анализ чувствительности» это относится к матрице A(δ)=[a+δ b; c d; 1 t], Δx=x(δ)−x(0). Соответствующий аспект: порядок численного вычисления, пункт 2.
Чтение результатов вычисления
Для контрольного набора получаются следующие первые показатели: Ранг матрицы A = 2, Размерность ядра = 0, Порог определения ранга = 2.55e-07, Наибольшее сингулярное число = 2.5497728. Полный ответ включает дополнительные величины, которые позволяют оценить согласованность и качество решения. Для расчёта «QR-разложение прямоугольной матрицы — анализ чувствительности» это относится к матрице A(δ)=[a+δ b; c d; 1 t], Δx=x(δ)−x(0). Соответствующий аспект: чтение результатов вычисления, пункт 1.
Находит экономное QR-разложение прямоугольной матрицы, проверяет ортогональность Q и ошибку восстановления A=QR. При неполном ранге второе ортогональное направление дополняется независимо от зависимого столбца матрицы. Это сохраняет равенство A=QR и позволяет не выдавать вырожденную матрицу за невырожденную. Невязка и показатели проверки помогают отделить математически корректный результат от случайного численного совпадения. Для расчёта «QR-разложение прямоугольной матрицы — анализ чувствительности» это относится к матрице A(δ)=[a+δ b; c d; 1 t], Δx=x(δ)−x(0). Соответствующий аспект: чтение результатов вычисления, пункт 2.
Ограничения применимости
Вычисляется не только решение, но и его изменение относительно невозмущённой системы. Небольшая поправка к коэффициенту не гарантирует столь же небольшого изменения решения, особенно при большом числе обусловленности. Поэтому вычисляются абсолютная и относительная чувствительности. Это предупреждение важно именно для матрицы, определённой в форме «A(δ)=[a+δ b; c d; 1 t], Δx=x(δ)−x(0)», и не обязательно применимо к произвольной другой системе. Для расчёта «QR-разложение прямоугольной матрицы — анализ чувствительности» это относится к матрице A(δ)=[a+δ b; c d; 1 t], Δx=x(δ)−x(0). Соответствующий аспект: ограничения применимости, пункт 1.
В QR-разложении столбцы Q имеют единичную длину и взаимно перпендикулярны, а R содержит коэффициенты представления исходных столбцов через Q. Для прямоугольной матрицы здесь используется экономный вариант разложения. При численной близости к вырождению измените исходные коэффициенты и проверьте чувствительность результата; высокую точность нельзя гарантировать одной лишь настройкой округления. Для расчёта «QR-разложение прямоугольной матрицы — анализ чувствительности» это относится к матрице A(δ)=[a+δ b; c d; 1 t], Δx=x(δ)−x(0). Соответствующий аспект: ограничения применимости, пункт 2.
Практическая интерпретация
Этот инструмент полезен, если требуется qr-разложение прямоугольной матрицы в ситуации «Один из коэффициентов первой строки изменяется на δ относительно базового состояния. В результате можно сравнить текущий ответ с решением исходной системы без возмущения.». Находит экономное QR-разложение прямоугольной матрицы, проверяет ортогональность Q и ошибку восстановления A=QR. Для расчёта «QR-разложение прямоугольной матрицы — анализ чувствительности» это относится к матрице A(δ)=[a+δ b; c d; 1 t], Δx=x(δ)−x(0). Соответствующий аспект: практическая интерпретация, пункт 1.
При сравнении двух входных наборов отслеживайте, какие наблюдения дают наибольшие отклонения. Небольшая поправка к коэффициенту не гарантирует столь же небольшого изменения решения, особенно при большом числе обусловленности. Поэтому вычисляются абсолютная и относительная чувствительности. Модель ограничена действительными матрицами с двумя неизвестными. Для расчёта «QR-разложение прямоугольной матрицы — анализ чувствительности» это относится к матрице A(δ)=[a+δ b; c d; 1 t], Δx=x(δ)−x(0). Соответствующий аспект: практическая интерпретация, пункт 2.
Формула расчёта
A(δ)=[a+δ b; c d; 1 t], Δx=x(δ)−x(0)
Проверенные примеры
Исходный элемент A₁₁ = 2; Элемент A₁₂ = 0.6; Элемент A₂₁ = -0.3; Элемент A₂₂ = 1.8; Элемент A₃₂ = 0.9; Первое наблюдение = 1.3; Второе наблюдение = 2.1; Третье наблюдение = 0.8; Возмущение элемента A₁₁ = 0.05; Относительный порог ранга = 1e-07
Основные показатели: Ранг матрицы A = 2, Размерность ядра = 0, Порог определения ранга = 2.55e-07, Наибольшее сингулярное число = 2.5497728. Изменение отдельного коэффициента позволяет проверить чувствительность полученного результата.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Заполните поля коэффициентов и правых частей. Порядок элементов указан в формуле A(δ)=[a+δ b; c d; 1 t], Δx=x(δ)−x(0).
- Проверьте ранг, число обусловленности и невязку. Они помогают распознать вырожденность и несогласованность измерений.
- Сопоставьте матричные результаты и контрольные ошибки с условиями задачи.