Как строится система уравнений
Если парабола проходит через точку (x; y), то верно равенство a·x² + b·x + c = y. Три точки дают три таких равенства. Неизвестные в них — только коэффициенты a, b и c, поэтому система линейная.
Её матрица состоит из строк (x², x, 1): по одной на каждую точку. Правые части — ординаты y. Для точек (1; 6), (2; 5), (3; 8) строки равны «1 1 1», «4 2 1», «9 3 1», а правые части — 6, 5, 8.
Пример с решением
Решая систему a + b + c = 6, 4a + 2b + c = 5, 9a + 3b + c = 8, вычитаем первое уравнение из второго и третьего: 3a + b = −1 и 8a + 2b = 2. Отсюда a = 2, b = −7, затем c = 11. Парабола: y = 2x² − 7x + 11.
Проверим по второй точке: 2 · 4 − 7 · 2 + 11 = 8 − 14 + 11 = 5. Результат совпадает с ординатой, значит, коэффициенты найдены верно. Калькулятор дополнительно контролирует невязку системы.
Вершина и корни параболы
Абсцисса вершины равна −b / (2a), а ордината c − b² / (4a). Для найденной параболы вершина лежит в точке (1,75; 4,875): так как a = 2 > 0, ветви направлены вверх, и это минимум.
Корни находятся из уравнения ax² + bx + c = 0 по дискриминанту D = b² − 4ac. Здесь D = 49 − 88 < 0, поэтому парабола не пересекает ось Ox. Для точек (−1; −4), (0; −3), (1; 0) получается y = x² + 2x − 3 с корнями 1 и −3.
Особые случаи
Если две точки имеют одинаковую абсциссу, функцией y = f(x) такие данные не описать, а матрица системы вырождена. Калькулятор в этом случае сообщит об ошибке. Точки с разными x, но на одной прямой дают a = 0.
Для точек (0; 0), (1; 1), (2; 2) решение a = 0, b = 1, c = 0, то есть прямая y = x. Это нормальный результат: прямая — частный случай квадратичной функции с нулевым старшим коэффициентом.
Как заполнить поля
Число неизвестных фиксировано и равно трём. В матрицу вводятся девять чисел: сначала три числа первой точки (x², x, 1), затем второй и третьей. Квадраты нужно вычислить заранее: для x = −2 это «4 -2 1».
Правые части — три значения y в том же порядке. Если порядок точек в матрице и в правых частях не совпадёт, получится парабола через другие точки. Десятичная часть отделяется точкой.
Когда это полезно
Парабола через три узла — простейшая квадратичная интерполяция: по ней можно оценить значение между узлами и положение экстремума. Чем ближе зависимость к квадратичной на этом участке, тем точнее оценка.
Если точек больше трёх и они содержат погрешность измерений, лучше подобрать кривую методом наименьших квадратов. Три точки задают параболу точно, но не сглаживают шум.
Формула расчёта
a·xᵢ² + b·xᵢ + c = yᵢ, i = 1, 2, 3
Проверенные примеры
Найдите параболу.
Система: a + b + c = 6; 4a + 2b + c = 5; 9a + 3b + c = 8. Решение a = 2, b = −7, c = 11, то есть y = 2x² − 7x + 11. Проверка при x = 2: 8 − 14 + 11 = 5.
Найдите параболу.
Строки «0 0 1», «1 1 1», «4 2 1». Результат a = 1, b = 0, c = 1: y = x² + 1.
Найдите параболу и её корни.
a = 1, b = 2, c = −3: y = x² + 2x − 3 = (x − 1)(x + 3), корни 1 и −3.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Выпишите три точки (x₁; y₁), (x₂; y₂), (x₃; y₃) с различными абсциссами.
- Для каждой точки запишите строку матрицы «x² x 1» и введите три строки подряд, всего девять чисел.
- В поле правых частей введите три значения y в том же порядке.
- Нажмите «Вычислить»: x1, x2, x3 в результате — коэффициенты a, b, c.