Что такое ранг
Ранг матрицы — максимальное число линейно независимых строк. Строки независимы, если ни одна из них не выражается как линейная комбинация остальных. Эквивалентное определение — максимальное число независимых столбцов: по теореме о ранге оба числа совпадают.
Другая формулировка: ранг равен порядку наибольшего ненулевого минора. Для матрицы порядка 3 ранг 3 означает ненулевой определитель, ранг 2 — нулевой определитель, но хотя бы один ненулевой минор 2×2, ранг 1 — все миноры 2×2 нулевые, но есть ненулевой элемент.
Вычисление методом Гаусса
Элементарные преобразования строк (перестановка, умножение на ненулевое число, прибавление кратной другой строки) не меняют ранг. Матрицу приводят к ступенчатому виду, где под каждым опорным элементом стоят нули. Число ненулевых строк даёт ранг.
Пример: строки (1 2 3), (4 5 6), (7 8 9). После вычитания 4·R₁ и 7·R₁ остаются строки (0 −3 −6) и (0 −6 −12); вычитая из последней удвоенную предыдущую, получаем нулевую строку. Остаются две ненулевые, ранг 2. В самом деле, (7 8 9) = 2·(4 5 6) − (1 2 3).
Связь с определителем и обратной матрицей
Квадратная матрица порядка n с рангом n называется невырожденной: её определитель отличен от нуля, существует обратная матрица, а система A·x = b имеет единственное решение при любой правой части. Любое падение ранга означает вырожденность.
Дефект n − rank A показывает размерность пространства решений однородной системы A·x = 0. Для матрицы 3×3 ранга 2 решения образуют прямую, для ранга 1 — плоскость. Поэтому ранг применяют, чтобы понять, сколько свободных параметров будет у решения.
Ранг и произведение матриц
Ранг произведения не превосходит ранга каждого сомножителя: rank(AB) ≤ min(rank A, rank B). Умножение на невырожденную матрицу ранг не меняет. Это удобно для проверки: если матрица ранга 1 умножается на любую другую, результат тоже имеет ранг не выше 1.
Матрицу ранга 1 всегда можно записать как произведение столбца на строку. Пример: строки (1 2 3), (2 4 6), (3 6 9) получаются как столбец (1; 2; 3), умноженный на строку (1 2 3), и калькулятор возвращает ранг 1.
Численные ограничения
В арифметике с плавающей точкой элементы после вычитания могут быть не точными нулями, а числами порядка 10⁻¹⁶. Поэтому калькулятор считает элемент нулевым, если он по модулю не превосходит 10⁻¹¹ от наибольшего элемента матрицы. На целых и коротких десятичных данных это даёт верный ранг.
Для почти вырожденных матриц, например с элементом 10⁻¹² рядом с единицами, результат определяется порогом, а не математикой. В таких случаях ранг — свойство данных с погрешностью, и для серьёзного анализа применяют сингулярное разложение с анализом спектра.
Формула расчёта
rank A = число ненулевых строк ступенчатого вида; rank A = n ⇔ det A ≠ 0
Проверенные примеры
Найдите ранг матрицы со строками (1 2 3), (4 5 6), (7 8 9).
Вычитая из второй строки 4 первых и из третьей 7 первых, получаем (0 −3 −6) и (0 −6 −12). Вторая строка в два раза больше первой из них, поэтому третья обнуляется. Ненулевых строк две, ранг равен 2.
Ранг матрицы (1 2), (3 6).
Вторая строка равна первой, умноженной на 3. Независима только одна строка, ранг равен 1.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Укажите порядок n квадратной матрицы.
- Введите все n × n элементов построчно, разделяя числа пробелами.
- Нажмите «Рассчитать» и прочитайте ранг.