Правило строка на столбец
Пусть A и B — квадратные матрицы порядка n. Элемент cᵢⱼ произведения C = AB равен сумме aᵢ₁b₁ⱼ + aᵢ₂b₂ⱼ + … + aᵢₙbₙⱼ. Иначе говоря, i-я строка матрицы A скалярно умножается на j-й столбец матрицы B.
Для порядка 2 это четыре суммы по два слагаемых: c₁₁ = a₁₁b₁₁ + a₁₂b₂₁, c₁₂ = a₁₁b₁₂ + a₁₂b₂₂, c₂₁ = a₂₁b₁₁ + a₂₂b₂₁, c₂₂ = a₂₁b₁₂ + a₂₂b₂₂. Для порядка n общее число умножений равно n³, поэтому порядок 8 уже требует 512 умножений.
Пример с матрицами 2×2
Возьмём A = (1 2; 3 4) и B = (0 1; 1 0). Тогда AB = (1·0+2·1, 1·1+2·0; 3·0+4·1, 3·1+4·0) = (2 1; 4 3): столбцы матрицы A поменялись местами. Калькулятор покажет результат как «2 ; 1 | 4 ; 3».
Поменяем сомножители: BA = (0·1+1·3, 0·2+1·4; 1·1+0·3, 1·2+0·4) = (3 4; 1 2). Теперь поменялись местами строки. Матрицы AB и BA различны, значит, порядок сомножителей нельзя менять.
Свойства операции
Умножение ассоциативно: (AB)C = A(BC), и дистрибутивно: A(B + C) = AB + AC. Единичная матрица E играет роль единицы: AE = EA = A. Нулевая матрица при умножении даёт нулевую: A·0 = 0.
Транспонирование меняет порядок: (AB)ᵀ = BᵀAᵀ. Определитель мультипликативен: det(AB) = det A · det B, а ранг произведения не больше ранга каждого сомножителя. Эти равенства удобно использовать для проверки расчёта.
Что означает произведение
Матрица квадратная порядка n задаёт линейное преобразование n-мерного пространства. Произведение AB соответствует применению сначала B, затем A. Поэтому поворот на 90° и затем отражение дадут не то же самое, что отражение и затем поворот.
В компьютерной графике цепочку преобразований — масштаб, поворот, перенос — складывают в одну матрицу заранее. Вычисления становятся быстрее: одну итоговую матрицу применяют к тысячам точек, а не повторяют каждое преобразование.
Как проверить результат вручную
Быстрая проверка — суммы по строкам и столбцам. Если вектор единиц обозначить u, то сумма элементов каждой строки произведения AB равна A·(B·u). Для A = (1 2; 3 4) и B = (0 1; 1 0) суммы строк B равны 1 и 1, значит, суммы строк AB равны 1·(1+2) = 3 и 1·(3+4) = 7, что совпадает с 2 + 1 и 4 + 3.
Вторая проверка — след и определитель. Определитель произведения равен произведению определителей: det A = −2, det B = −1, и det(AB) = 2·3 − 1·4 = 2. Совпадение подтверждает, что строки и столбцы перемножены в правильном порядке.
Ввод и ограничения калькулятора
Элементы вводятся построчно через пробелы: матрице (1 2; 3 4) соответствует запись «1 2 3 4» при порядке 2. Обе матрицы должны иметь порядок n, то есть содержать ровно n² чисел. Допустимы значения по модулю до миллиона.
Результат выводится строкой: элементы одной строки разделены символом «;», а строки — символом «|». Значения округляются до 12 значащих цифр, а числа, меньшие 10⁻¹² по модулю, записываются как нуль. Для проверки показан и наибольший по модулю элемент произведения.
Формула расчёта
cᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ · bₖⱼ
Проверенные примеры
Вычислите AB и BA для A = (1 2; 3 4) и B = (0 1; 1 0).
AB = (1·0+2·1, 1·1+2·0; 3·0+4·1, 3·1+4·0) = (2 1; 4 3). BA = (0·1+1·3, 0·2+1·4; 1·1+0·3, 1·2+0·4) = (3 4; 1 2). Матрицы различны: умножение справа на B меняет столбцы местами, а слева — строки.
Чему равно A·E для любой матрицы A?
Единичная матрица E не меняет матрицу: A·E = E·A = A. Например, (5 6; 7 8)·(1 0; 0 1) = (5 6; 7 8).
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Укажите порядок n обеих матриц.
- Введите элементы A и B построчно, разделяя числа пробелами.
- Нажмите «Рассчитать» и скопируйте произведение A×B из блока результата.