Как вводить матрицу
Элементы матрицы записываются построчно: сначала все числа первой строки, затем второй и так далее. Разделителем может быть пробел, перевод строки или точка с запятой, десятичный знак — точка или запятая. Для порядка 3 нужно ровно девять чисел, и если их введено иначе, калькулятор сообщит, сколько ожидалось и сколько получено.
Порядок матрицы выбирается отдельно, от второго до пятого. Все операции, кроме линейных систем, работают с квадратными матрицами, потому что именно для них определены определитель, обратная матрица, след и степень. Элементы по модулю ограничены миллионом, чтобы накопление ошибок округления оставалось контролируемым.
Определитель, ранг и следствия
Определитель вычисляется методом Гаусса с выбором главного элемента: строки переставляются так, чтобы делить на наибольшее по модулю число столбца, что снижает потери точности. Ранг — число ненулевых ведущих элементов в ступенчатом виде с допуском, пропорциональным масштабу матрицы.
Нулевой определитель означает вырожденность: у матрицы нет обратной, строки линейно зависимы, а система с такой матрицей либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много. В режиме анализа калькулятор показывает также нормы, признаки симметричности и таблицу алгебраических дополнений, из которой строится присоединённая матрица.
Обратная матрица и проверка
Обратная матрица ищется методом Гаусса–Жордана для расширенной матрицы из A и единичной. Включённая проверка перемножает A на найденную A⁻¹ и показывает максимальное отклонение от единичной матрицы: для хорошо обусловленных матриц оно имеет порядок 10⁻¹⁵.
Если матрица почти вырождена, отклонение растёт, и это сигнал, что результатам доверять нельзя. В таких случаях полезно сравнить величину определителя с масштабом элементов. Обратная матрица нужна для решения систем, вычисления отрицательных степеней и обращения линейных преобразований в графике и робототехнике.
Степень, произведение и LU-разложение
Степень матрицы считается быстрым возведением по двоичным разрядам показателя, поэтому даже k = 20 требует всего несколько умножений. Отрицательные показатели допустимы для обратимых матриц: сначала берётся A⁻¹. Для k = 0 результатом служит единичная матрица.
Произведение A·B показано вместе с B·A, чтобы наглядно видеть некоммутативность. LU-разложение с перестановками раскладывает матрицу в произведение нижней и верхней треугольных, определитель при этом получается как произведение диагонали U со знаком числа перестановок. Именно так работают численные библиотеки.
Системы линейных уравнений Ax = b
В режиме системы вводятся матрица коэффициентов и столбец свободных членов. Калькулятор приводит расширенную матрицу к улучшенному ступенчатому виду и по теореме Кронекера–Капелли классифицирует систему: единственное решение, бесконечно много решений или несовместность.
Для единственного решения выводится невязка max|Ax − b|, по которой видно, насколько точно найденный вектор удовлетворяет исходным уравнениям. Если решений бесконечно много, показывается частное решение со свободными переменными, равными нулю, и их количество — размерность пространства решений.
Формула расчёта
det A = ∑ ±a₁ⱼ·M₁ⱼ; A·A⁻¹ = E; PA = LU; rank A = rank [A | b] = n ⇒ x = A⁻¹b
Проверенные примеры
A = [[2,1,0],[1,3,1],[0,1,4]].
Определитель 18, ранг 3, след 9: матрица симметричная и обратимая.
A = [[2,1,0],[1,3,1],[0,1,4]], b = (1, 2, 3).
Решение единственное, невязка практически нулевая.
Та же матрица в степени 3.
Определитель A³ равен 18³ = 5832.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Выберите операцию и порядок матрицы.
- Введите элементы матрицы A построчно; для произведения — ещё B, для системы — столбец b.
- Задайте степень или включите проверку, если это нужно.
- Изучите показатели и таблицы результата, скачайте таблицу в Excel.