Условие существования обратной матрицы
Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда матрица квадратная и её определитель не равен нулю. Такие матрицы называют невырожденными. Если определитель нулевой, то строки линейно зависимы, и уравнение A · X = E не имеет решения.
Определитель обратной матрицы равен 1/det A. Поэтому чем ближе определитель к нулю при «нормальных» размерах элементов, тем больше элементы A⁻¹ и тем менее надёжен результат. Калькулятор отдельно сообщает, когда матрица считается вырожденной или плохо обусловленной.
Формула для матрицы 2×2
Для матрицы [[a, b], [c, d]] с определителем D = ad − bc обратная матрица равна 1/D · [[d, −b], [−c, a]]. Диагональные элементы меняются местами, у побочных меняются знаки, а всё делится на определитель.
Для [[4, 7], [2, 6]] получаем D = 24 − 14 = 10, и обратная матрица равна [[0,6; −0,7], [−0,2; 0,4]]. Для [[1, 2], [3, 4]] определитель −2, а обратная матрица [[−2; 1], [1,5; −0,5]]. Именно такие результаты вы увидите в калькуляторе.
Метод Гаусса–Жордана
Для больших порядков применяют метод Гаусса–Жордана. Справа от матрицы дописывают единичную и выполняют элементарные преобразования строк: деление строки на опорный элемент и вычитание кратных из других строк. Когда слева появляется единичная матрица, справа находится обратная.
На каждом шаге выбирают наибольший по модулю опорный элемент в столбце, чтобы избежать деления на малые числа и накопления ошибок округления. Если подходящего опорного элемента нет, матрица вырождена, и калькулятор прекращает расчёт.
Проверка результата и обусловленность
После получения A⁻¹ калькулятор перемножает A и A⁻¹ и находит наибольшее отклонение от единичной матрицы. Эта величина называется невязкой. Для хорошего результата она порядка 10⁻¹⁵–10⁻¹², а при заметной невязке результат блокируется.
Число обусловленности оценивается как произведение норм матрицы и её обратной. Оно показывает, во сколько раз ошибка данных может усилиться в результате. Для матрицы [[1, 2], [3, 4]] оно около 21, а у почти вырожденных матриц достигает миллионов.
Где применяется обратная матрица
С помощью обратной матрицы решают систему A · x = b как x = A⁻¹ · b, если нужно решать много систем с одной и той же матрицей. В экономике модели «затраты — выпуск» Леонтьева опираются на обратную матрицу, а в компьютерной графике она обращает преобразования поворота и масштабирования.
На практике для одной системы эффективнее решать её напрямую, например с помощью калькулятора для систем линейных уравнений. Обращение нужно, когда требуется сама матрица A⁻¹, например при расчёте ковариационной матрицы в статистике.
Формула расчёта
A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = E
Проверенные примеры
Найдите обратную матрицу для [[4, 7], [2, 6]].
det = 24 − 14 = 10, A⁻¹ = 1/10 · [[6, −7], [−2, 4]] = [[0,6; −0,7], [−0,2; 0,4]].
Найдите A⁻¹.
det = −2, A⁻¹ = [[−2; 1], [1,5; −0,5]].
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Укажите порядок матрицы n.
- Впишите элементы построчно через пробел.
- Нажмите «Рассчитать»: строки обратной матрицы разделены символом «|», элементы строки — «;».