Формулы для матриц 1×1, 2×2 и 3×3
У матрицы 1×1 определитель совпадает с её единственным элементом. Для матрицы 2×2 с элементами a, b, c, d он равен ad − bc: так, для [[1, 2], [3, 4]] получаем 1 · 4 − 2 · 3 = −2. Эту формулу полезно помнить наизусть.
Для порядка 3 удобно раскладывать по первой строке: det = a₁₁(a₂₂a₃₃ − a₂₃a₃₂) − a₁₂(a₂₁a₃₃ − a₂₃a₃₁) + a₁₃(a₂₁a₃₂ − a₂₂a₃₁). Для примера по умолчанию [[2, 1, 0], [1, 3, 1], [0, 1, 4]] это 2 · 11 − 1 · 4 + 0 = 18. Знаки в разложении чередуются: плюс, минус, плюс.
Как считает калькулятор: метод Гаусса
Раскрытие по строке требует порядка n! операций, поэтому для матриц 6×6 и больше оно непрактично. Калькулятор приводит матрицу к верхнетреугольному виду исключением Гаусса: из нижних строк вычитаются кратные верхних, и определитель при этом не меняется.
Если приходится переставлять строки, знак определителя меняется, и это учитывается. В конце результат равен произведению диагональных элементов. Выбор главного, то есть наибольшего по модулю, элемента в столбце уменьшает ошибки округления и делает вычисления устойчивыми.
Свойства определителя, полезные на практике
Определитель не изменится, если к одной строке прибавить другую, умноженную на число. Он меняет знак при перестановке двух строк и умножается на число, если на него умножить строку. Для треугольной матрицы он равен произведению диагональных элементов: у матрицы с диагональю 2, 3, 4, 5 он равен 120.
Определитель произведения матриц равен произведению определителей, а определитель транспонированной матрицы совпадает с исходным. Из первого свойства следует, что определитель обратной матрицы равен 1/det A, поэтому обратимость требует det A ≠ 0.
Нулевой определитель и вырожденные матрицы
Если определитель равен нулю, строки матрицы линейно зависимы. Пример — матрица 1 2 3 / 4 5 6 / 7 8 9: третья строка равна удвоенной второй минус первая. Такая матрица необратима, а система уравнений с ней либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много.
Геометрически определитель матрицы 2×2 равен площади параллелограмма на строках как на векторах (со знаком), а матрицы 3×3 — объёму параллелепипеда. Нулевое значение означает, что фигура «сплюснута» в плоскость или линию.
Как вводить элементы и проверять результат
Укажите порядок n и впишите n² чисел построчно: для матрицы [[1, 2], [3, 4]] введите порядок 2 и значения «1 2 3 4». Если количество элементов не совпадает с n², калькулятор сообщит об ошибке. Допускаются десятичные числа.
Для проверки выполните вычисление вручную для малого порядка либо сравните с произведением диагонали после элементарных преобразований. Особо внимательно относитесь к знакам: при перестановке двух строк определитель меняет знак, как у матрицы перестановки [[0, 1, 0], [1, 0, 0], [0, 0, 1]], где он равен −1.
Формула расчёта
det A = Σ (−1)^(1+j) · a₁ⱼ · Mⱼ (разложение по первой строке)
Проверенные примеры
Найдите определитель [[1, 2], [3, 4]].
1 · 4 − 2 · 3 = −2.
Найдите определитель [[2, 1, 0], [1, 3, 1], [0, 1, 4]].
2 · (3·4 − 1·1) − 1 · (1·4 − 1·0) + 0 = 22 − 4 = 18.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Укажите порядок матрицы n.
- Впишите n × n элементов построчно: сначала первая строка, затем вторая и так далее.
- Нажмите «Рассчитать»: нулевой определитель означает, что матрица вырождена.