Запись системы в матричной форме
Система n уравнений с n неизвестными записывается как A · x = b. Матрица A состоит из коэффициентов при неизвестных, вектор x — из самих неизвестных, а вектор b — из правых частей. Для уравнений 2x + y = 5 и x + 3y = 10 матрица равна [[2, 1], [1, 3]], а b = (5, 10).
В калькулятор коэффициенты вводятся построчно: для этой системы «2 1 1 3», а правые части — «5 10». Если какая-то неизвестная в уравнении отсутствует, введите на её месте ноль. Порядок неизвестных должен быть одинаковым во всех строках.
Метод Гаусса шаг за шагом
Сначала с помощью первой строки обнуляют элементы первого столбца под диагональю, затем делают то же для второго столбца и так далее. После этого система принимает треугольный вид, и неизвестные находят подстановкой снизу вверх: сначала последняя, потом предпоследняя.
Калькулятор перед каждым шагом выбирает строку с наибольшим по модулю элементом в текущем столбце и переставляет её на место опорной. Это называется частичным выбором главного элемента и заметно повышает устойчивость к ошибкам округления, особенно если на диагонали встречаются нули или малые числа.
Разбор примера 3×3
Рассмотрим систему 2x + y − z = 8, −3x − y + 2z = −11, −2x + y + 2z = −3. Её классическое решение — x = 2, y = 3, z = −1. Проверим: 4 + 3 + 1 = 8, −6 − 3 − 2 = −11 и −4 + 3 − 2 = −3, все три равенства выполняются.
Если ввести в калькулятор порядок 3, коэффициенты «2 1 -1 -3 -1 2 -2 1 2» и правые части «8 -11 -3», вы получите именно эти значения, возможно, с отклонением в последнем знаке из-за двоичной арифметики. Невязка при этом окажется порядка 10⁻¹⁵.
Вырожденные системы
Если определитель матрицы A равен нулю, система либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много. Например, уравнения x + 2y = 3 и 2x + 4y = 6 совпадают, а x + 2y = 3 и 2x + 4y = 7 противоречат друг другу. Калькулятор не выбирает «случайное» решение, а сообщает о вырожденности.
Для почти вырожденных систем результат очень чувствителен к малым изменениям данных. Поэтому калькулятор требует, чтобы опорный элемент превышал порог, зависящий от размера элементов матрицы, и в противном случае отказывается решать систему.
Где применяются системы линейных уравнений
К системам сводятся задачи на смеси и сплавы, расчёт электрических цепей по законам Кирхгофа, балансировка уравнений реакций, нахождение коэффициентов многочлена по заданным точкам, расчёт равновесных цен в простых моделях рынка. Достаточно записать условия в виде линейных соотношений между неизвестными.
Если нужно найти и саму обратную матрицу или определитель, воспользуйтесь соответствующими калькуляторами раздела «Линейная алгебра». Для проверки себя решайте задачу двумя способами: например, методом Гаусса и правилом Крамера для малых порядков.
Формула расчёта
A · x = b
Проверенные примеры
2x + y = 5, x + 3y = 10.
x = 1, y = 3. Проверка: 2 + 3 = 5 и 1 + 9 = 10.
2x + y − z = 8, −3x − y + 2z = −11, −2x + y + 2z = −3.
x = 2, y = 3, z = −1.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Запишите систему в виде a₁₁x₁ + … + a₁ₙxₙ = b₁ и так далее.
- Введите порядок n, коэффициенты построчно и столбец правых частей.
- Нажмите «Рассчитать»: получите x₁…xₙ и невязку; при вырожденной системе будет сообщение.