Число решений системы и её совместность — анализ чувствительности

Постановка матричной задачи

Для точного решения проверяется равенство рангов A и расширенной матрицы [A|y]. Если y не принадлежит образу A, исходные уравнения противоречат друг другу, но задача наименьших квадратов всё равно имеет решение. В конкретном случае «Число решений системы и её совместность — анализ чувствительности» исходная матрица записывается следующим образом: A(δ)=[a+δ b; c d; 1 t], Δx=x(δ)−x(0). Для расчёта «Число решений системы и её совместность — анализ чувствительности» это относится к матрице A(δ)=[a+δ b; c d; 1 t], Δx=x(δ)−x(0). Соответствующий аспект: постановка матричной задачи, пункт 1.

Один из коэффициентов первой строки изменяется на δ относительно базового состояния. В результате можно сравнить текущий ответ с решением исходной системы без возмущения. Поэтому параметры здесь задают настоящие элементы строк или правых частей; каждое поле имеет прямое отношение к исследуемой системе. Для расчёта «Число решений системы и её совместность — анализ чувствительности» это относится к матрице A(δ)=[a+δ b; c d; 1 t], Δx=x(δ)−x(0). Соответствующий аспект: постановка матричной задачи, пункт 2.

Входные параметры и условия

Первые значения задают Исходный элемент A₁₁, Элемент A₁₂, Элемент A₂₁. Остальная часть формы содержит Элемент A₂₂, Элемент A₃₂, Первое наблюдение, Второе наблюдение, Третье наблюдение, Возмущение элемента A₁₁, Относительный порог ранга. Эти данные нужны для построения A, наблюдений y и численного контроля результата. Для расчёта «Число решений системы и её совместность — анализ чувствительности» это относится к матрице A(δ)=[a+δ b; c d; 1 t], Δx=x(δ)−x(0). Соответствующий аспект: входные параметры и условия, пункт 1.

Используйте заполненный пример: Исходный элемент A₁₁ = 2; Элемент A₁₂ = 0.6; Элемент A₂₁ = -0.3; Элемент A₂₂ = 1.8; Элемент A₃₂ = 0.9; Первое наблюдение = 1.3; Второе наблюдение = 2.1; Третье наблюдение = 0.8; Возмущение элемента A₁₁ = 0.05; Относительный порог ранга = 1e-07. Для диагностики важно сопоставлять ранг и величину остатка, поскольку даже небольшая ошибка в одном ограничении меняет статус точного решения. Для расчёта «Число решений системы и её совместность — анализ чувствительности» это относится к матрице A(δ)=[a+δ b; c d; 1 t], Δx=x(δ)−x(0). Соответствующий аспект: входные параметры и условия, пункт 2.

Порядок численного вычисления

Если совместная матрица имеет два независимых столбца, решение единственно. Если ранг меньше двух, возникают свободные переменные и бесконечное семейство точных решений; псевдообратная выбирает из них решение минимальной длины. Для модели A(δ)=[a+δ b; c d; 1 t], Δx=x(δ)−x(0) сначала определяются сингулярные числа, а затем вычисляются необходимые матричные произведения или коэффициенты разложения. Для расчёта «Число решений системы и её совместность — анализ чувствительности» это относится к матрице A(δ)=[a+δ b; c d; 1 t], Δx=x(δ)−x(0). Соответствующий аспект: порядок численного вычисления, пункт 1.

Небольшая поправка к коэффициенту не гарантирует столь же небольшого изменения решения, особенно при большом числе обусловленности. Поэтому вычисляются абсолютная и относительная чувствительности. В вычислителе применяется заданный порог отсечения слабых сингулярных направлений; его можно учитывать при интерпретации ранга и коэффициентов. Для расчёта «Число решений системы и её совместность — анализ чувствительности» это относится к матрице A(δ)=[a+δ b; c d; 1 t], Δx=x(δ)−x(0). Соответствующий аспект: порядок численного вычисления, пункт 2.

Чтение результатов вычисления

Для контрольного набора получаются следующие первые показатели: Ранг матрицы A = 2, Размерность ядра = 0, Порог определения ранга = 2.55e-07, Наибольшее сингулярное число = 2.5497728. Полный ответ включает дополнительные величины, которые позволяют оценить согласованность и качество решения. Для расчёта «Число решений системы и её совместность — анализ чувствительности» это относится к матрице A(δ)=[a+δ b; c d; 1 t], Δx=x(δ)−x(0). Соответствующий аспект: чтение результатов вычисления, пункт 1.

Классифицирует линейную систему на единственное решение, бесконечное число решений и несовместность; для несовместной даёт приближённый ответ. Если совместная матрица имеет два независимых столбца, решение единственно. Если ранг меньше двух, возникают свободные переменные и бесконечное семейство точных решений; псевдообратная выбирает из них решение минимальной длины. Невязка и показатели проверки помогают отделить математически корректный результат от случайного численного совпадения. Для расчёта «Число решений системы и её совместность — анализ чувствительности» это относится к матрице A(δ)=[a+δ b; c d; 1 t], Δx=x(δ)−x(0). Соответствующий аспект: чтение результатов вычисления, пункт 2.

Ограничения применимости

Вычисляется не только решение, но и его изменение относительно невозмущённой системы. Небольшая поправка к коэффициенту не гарантирует столь же небольшого изменения решения, особенно при большом числе обусловленности. Поэтому вычисляются абсолютная и относительная чувствительности. Это предупреждение важно именно для матрицы, определённой в форме «A(δ)=[a+δ b; c d; 1 t], Δx=x(δ)−x(0)», и не обязательно применимо к произвольной другой системе. Для расчёта «Число решений системы и её совместность — анализ чувствительности» это относится к матрице A(δ)=[a+δ b; c d; 1 t], Δx=x(δ)−x(0). Соответствующий аспект: ограничения применимости, пункт 1.

Для точного решения проверяется равенство рангов A и расширенной матрицы [A|y]. Если y не принадлежит образу A, исходные уравнения противоречат друг другу, но задача наименьших квадратов всё равно имеет решение. При численной близости к вырождению измените исходные коэффициенты и проверьте чувствительность результата; высокую точность нельзя гарантировать одной лишь настройкой округления. Для расчёта «Число решений системы и её совместность — анализ чувствительности» это относится к матрице A(δ)=[a+δ b; c d; 1 t], Δx=x(δ)−x(0). Соответствующий аспект: ограничения применимости, пункт 2.

Практическая интерпретация

Этот инструмент полезен, если требуется система с параметрами и классификация числа решений в ситуации «Один из коэффициентов первой строки изменяется на δ относительно базового состояния. В результате можно сравнить текущий ответ с решением исходной системы без возмущения.». Классифицирует линейную систему на единственное решение, бесконечное число решений и несовместность; для несовместной даёт приближённый ответ. Для расчёта «Число решений системы и её совместность — анализ чувствительности» это относится к матрице A(δ)=[a+δ b; c d; 1 t], Δx=x(δ)−x(0). Соответствующий аспект: практическая интерпретация, пункт 1.

При сравнении двух входных наборов отслеживайте, какие наблюдения дают наибольшие отклонения. Небольшая поправка к коэффициенту не гарантирует столь же небольшого изменения решения, особенно при большом числе обусловленности. Поэтому вычисляются абсолютная и относительная чувствительности. Модель ограничена действительными матрицами с двумя неизвестными. Для расчёта «Число решений системы и её совместность — анализ чувствительности» это относится к матрице A(δ)=[a+δ b; c d; 1 t], Δx=x(δ)−x(0). Соответствующий аспект: практическая интерпретация, пункт 2.

Формула расчёта

Проверенные примеры

Как пользоваться онлайн-калькулятором

1. Заполните поля коэффициентов и правых частей. Порядок элементов указан в формуле A(δ)=[a+δ b; c d; 1 t], Δx=x(δ)−x(0).
2. Проверьте ранг, число обусловленности и невязку. Они помогают распознать вырожденность и несогласованность измерений.
3. Сопоставьте матричные результаты и контрольные ошибки с условиями задачи.