Как получаются полярные множители
Любая обратимая вещественная матрица допускает единственное правое полярное разложение A=UH, где U ортогональна, а H=√(AᵀA) симметрична и положительно определена. Для матриц 2×2 вычисление U можно выполнить устойчиво по диагональным и косым суммам. В проверочном примере используется запись «A=[a,b;0,c]=UH», так что при перестановке коэффициентов смысл расчёта меняется.
Для этой модели используется запись «A=[a,b;0,c]=UH». В третьей группе используются матрицы с заранее заданными нулями. Их разреженность снижает число коэффициентов, но связь между соседними состояниями по-прежнему меняет весь спектр. Например, на странице «Полярное разложение разреженной треугольной матрицы» можно изменить Верхняя связь и сравнить значение результата с исходным примером.
Что означают исходные числа
Коэффициенты задаются непосредственно: Верхний диагональный элемент, Верхняя связь, Нижний диагональный элемент. Дальше используются Пробный вектор x, Пробный вектор y, Порог невырожденности. Каждое число входит в матрицу, её проверку, выбранный вектор либо критерий численной допустимости. Для этого оператора важно явно указать Верхний диагональный элемент, Верхняя связь, Нижний диагональный элемент: от этих величин зависит матрица и последующий результат.
В примере Начальные значения: Верхний диагональный элемент = 3, Верхняя связь = 1, Нижний диагональный элемент = 2, Пробный вектор x = 1, Пробный вектор y = -1, Порог невырожденности = 1e-08. Размерность матрицы задана явно — введите коэффициенты в подписанные поля и сравните не только первый результат, но и контрольные инварианты. Например, на странице «Полярное разложение разреженной треугольной матрицы» можно изменить Нижний диагональный элемент и сравнить значение результата с исходным примером.
Порядок вычисления
Сначала строится оператор по выбранной модели. Затем рассчитываются Ошибка восстановления A=UH, Ошибка ортогональности U, Ошибка симметрии H. Для симметричного оператора используется устойчивое диагонализующее преобразование; в задачах с дефектностью применяются точные алгебраические критерии. Критерии применяются именно к модели «A=[a,b;0,c]=UH»; при переходе к другой матрице вычислительную постановку нужно проверить заново.
При численных операциях округление производится при выдаче ответа, а промежуточные вычисления идут с двойной точностью. Результат нельзя безоговорочно переносить на матрицы других размеров и с другой структурой. Например, на странице «Полярное разложение разреженной треугольной матрицы» можно изменить Пробный вектор x и сравнить значение результата с исходным примером.
Чтение результата
Для исходного примера получено: Ошибка восстановления A=UH = 0, Ошибка ортогональности U = 0, Ошибка симметрии H = 0, det(U) = 1. Сопоставление нескольких этих величин помогает увидеть как алгебраическое свойство оператора, так и качество вычисления. Практический контроль проводится для случая «Полярное разложение разреженной треугольной матрицы», а не для абстрактной матрицы без заданных коэффициентов.
Ортогональная часть может быть отражением, если det(A) отрицателен. В таком случае det(U)=−1, и это нормальный результат. Контролируйте одновременно ||A−UH||, ||UᵀU−I|| и симметрию H. Например, на странице «Полярное разложение разреженной треугольной матрицы» можно изменить Пробный вектор y и сравнить значение результата с исходным примером.
Особые случаи и ограничения
Для обратимого оператора U ортогонален и H симметричен положительно определён. При вырождении модель выдаёт понятную ошибку. Отдельно проверяйте входы Верхний диагональный элемент, Верхняя связь, Нижний диагональный элемент: именно они могут приблизить оператор к предельному математическому случаю.
При близких собственных числах геометрическая кратность не определяется только числом совпавших значений. Величины, описывающие невырожденность, трактуйте с учётом установленного допуска. За пределами семейства формула не заменяет общий символический расчёт матриц. Например, на странице «Полярное разложение разреженной треугольной матрицы» можно изменить Порог невырожденности и сравнить значение результата с исходным примером.
Для чего применять в практике
В линейных моделях спектр описывает независимые направления, определённость позволяет оценить квадратичный функционал, а число обусловленности — устойчивость расчёта. Полярное разложение разделяет вращательную и растягивающую части. Для оценки полезно отслеживать, как изменение коэффициентов отражается на инвариантах в модели «A=[a,b;0,c]=UH».
Сравнивайте результаты при изменении значимых коэффициентов, особенно если оператор близок к особой точке: Матрица [1,2], Матрица [2,1], Матрица [2,2]. Не используйте результат в качестве доказательства вне указанных ограничений. Например, на странице «Полярное разложение разреженной треугольной матрицы» можно изменить Верхний диагональный элемент и сравнить значение результата с исходным примером.
Формула расчёта
A=[a,b;0,c]=UH
Проверенные примеры
Начальные значения: Верхний диагональный элемент = 3, Верхняя связь = 1, Нижний диагональный элемент = 2, Пробный вектор x = 1, Пробный вектор y = -1, Порог невырожденности = 1e-08.
Калькулятор выдаёт: Ошибка восстановления A=UH = 0, Ошибка ортогональности U = 0, Ошибка симметрии H = 0, det(U) = 1. Измените один из параметров и сравните показанные величины.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите Верхний диагональный элемент, Верхняя связь, Нижний диагональный элемент, Пробный вектор x, Пробный вектор y, Порог невырожденности.
- Расчёт основан на модели «A=[a,b;0,c]=UH». Перед применением проверьте её симметрию, размерность и допустимость выбранных коэффициентов.
- Сравните Ошибка восстановления A=UH, Ошибка ортогональности U, Ошибка симметрии H, det(U). При проверке устойчивости отдельно используйте оценку погрешности или невязку.