Зачем нужно число обусловленности
Число обусловленности κ₂(A) — отношение наибольшего и наименьшего сингулярных значений. Оно показывает потенциальное усиление относительной ошибки при решении Ax=b. Для несамосопряжённых матриц модулей собственных значений недостаточно. В проверочном примере используется запись «A=[a,b,0;b,c,d;0,d,e], κ₂(A)=max|λᵢ|/min|λᵢ|», так что при перестановке коэффициентов смысл расчёта меняется.
Для этой модели используется запись «A=[a,b,0;b,c,d;0,d,e], κ₂(A)=max|λᵢ|/min|λᵢ|». В третьей группе используются матрицы с заранее заданными нулями. Их разреженность снижает число коэффициентов, но связь между соседними состояниями по-прежнему меняет весь спектр. Например, на странице «Обусловленность разреженной трёхдиагональной системы» можно изменить Связь 1–2 и сравнить значение результата с исходным примером.
Что означают исходные числа
Коэффициенты задаются непосредственно: Диагональ 1, Связь 1–2, Диагональ 2. Дальше используются Связь 2–3, Диагональ 3, Правая часть 1, Правая часть 2, Правая часть 3, Порог сингулярности. Каждое число входит в матрицу, её проверку, выбранный вектор либо критерий численной допустимости. Для этого оператора важно явно указать Диагональ 1, Связь 1–2, Диагональ 2: от этих величин зависит матрица и последующий результат.
В примере Начальные значения: Диагональ 1 = 3, Связь 1–2 = 0.5, Диагональ 2 = 4, Связь 2–3 = 0.7, Диагональ 3 = 5, Правая часть 1 = 1, Правая часть 2 = 2, Правая часть 3 = -1, Порог сингулярности = 1e-07. Размерность матрицы задана явно — введите коэффициенты в подписанные поля и сравните не только первый результат, но и контрольные инварианты. Например, на странице «Обусловленность разреженной трёхдиагональной системы» можно изменить Диагональ 2 и сравнить значение результата с исходным примером.
Порядок вычисления
Сначала строится оператор по выбранной модели. Затем рассчитываются Число обусловленности κ₂, Наибольшее сингулярное значение, Наименьшее сингулярное значение. Для симметричного оператора используется устойчивое диагонализующее преобразование; в задачах с дефектностью применяются точные алгебраические критерии. Критерии применяются именно к модели «A=[a,b,0;b,c,d;0,d,e], κ₂(A)=max|λᵢ|/min|λᵢ|»; при переходе к другой матрице вычислительную постановку нужно проверить заново.
При численных операциях округление производится при выдаче ответа, а промежуточные вычисления идут с двойной точностью. Результат нельзя безоговорочно переносить на матрицы других размеров и с другой структурой. Например, на странице «Обусловленность разреженной трёхдиагональной системы» можно изменить Связь 2–3 и сравнить значение результата с исходным примером.
Чтение результата
Для исходного примера получено: Число обусловленности κ₂ = 1.9531589, Наибольшее сингулярное значение = 5.3832928, Наименьшее сингулярное значение = 2.7561981, Устойчивость: 1/κ₂ = 0.51199111. Сопоставление нескольких этих величин помогает увидеть как алгебраическое свойство оператора, так и качество вычисления. Практический контроль проводится для случая «Обусловленность разреженной трёхдиагональной системы», а не для абстрактной матрицы без заданных коэффициентов.
После расчёта система решается с выбором ведущего элемента; невязка ||Ax−b|| позволяет проверить, воспроизводит ли найденный вектор исходную правую часть. Малой невязки недостаточно для уверенности при огромной κ₂. Например, на странице «Обусловленность разреженной трёхдиагональной системы» можно изменить Диагональ 3 и сравнить значение результата с исходным примером.
Особые случаи и ограничения
Обусловленность в евклидовой норме определяется сингулярными значениями; нулевое минимальное значение означает вырожденность. Отдельно проверяйте входы Диагональ 1, Связь 1–2, Диагональ 2: именно они могут приблизить оператор к предельному математическому случаю.
При близких собственных числах геометрическая кратность не определяется только числом совпавших значений. Величины, описывающие невырожденность, трактуйте с учётом установленного допуска. За пределами семейства формула не заменяет общий символический расчёт матриц. Например, на странице «Обусловленность разреженной трёхдиагональной системы» можно изменить Правая часть 1 и сравнить значение результата с исходным примером.
Для чего применять в практике
В линейных моделях спектр описывает независимые направления, определённость позволяет оценить квадратичный функционал, а число обусловленности — устойчивость расчёта. Полярное разложение разделяет вращательную и растягивающую части. Для оценки полезно отслеживать, как изменение коэффициентов отражается на инвариантах в модели «A=[a,b,0;b,c,d;0,d,e], κ₂(A)=max|λᵢ|/min|λᵢ|».
Сравнивайте результаты при изменении значимых коэффициентов, особенно если оператор близок к особой точке: Матрица [3,1], Матрица [3,2], Матрица [3,3]. Не используйте результат в качестве доказательства вне указанных ограничений. Например, на странице «Обусловленность разреженной трёхдиагональной системы» можно изменить Правая часть 2 и сравнить значение результата с исходным примером.
Формула расчёта
A=[a,b,0;b,c,d;0,d,e], κ₂(A)=max|λᵢ|/min|λᵢ|
Проверенные примеры
Начальные значения: Диагональ 1 = 3, Связь 1–2 = 0.5, Диагональ 2 = 4, Связь 2–3 = 0.7, Диагональ 3 = 5, Правая часть 1 = 1, Правая часть 2 = 2, Правая часть 3 = -1, Порог сингулярности = 1e-07.
Калькулятор выдаёт: Число обусловленности κ₂ = 1.9531589, Наибольшее сингулярное значение = 5.3832928, Наименьшее сингулярное значение = 2.7561981, Устойчивость: 1/κ₂ = 0.51199111. Измените один из параметров и сравните показанные величины.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите Диагональ 1, Связь 1–2, Диагональ 2, Связь 2–3, Диагональ 3, Правая часть 1, Правая часть 2, Правая часть 3, Порог сингулярности.
- Расчёт основан на модели «A=[a,b,0;b,c,d;0,d,e], κ₂(A)=max|λᵢ|/min|λᵢ|». Перед применением проверьте её симметрию, размерность и допустимость выбранных коэффициентов.
- Сравните Число обусловленности κ₂, Наибольшее сингулярное значение, Наименьшее сингулярное значение, Устойчивость: 1/κ₂. При проверке устойчивости отдельно используйте оценку погрешности или невязку.