Собственные значения разреженной симметричной матрицы 3×3

Как устроено спектральное разложение

Вещественную симметричную матрицу можно представить как QΛQᵀ. Столбцы Q — ортонормированные собственные направления, диагональ Λ содержит собственные значения. По ним определяют направления максимального и минимального растяжения квадратичной формы. В проверочном примере используется запись «A=[a b 0; b c d; 0 d e], A=QΛQᵀ», так что при перестановке коэффициентов смысл расчёта меняется.

Для этой модели используется запись «A=[a b 0; b c d; 0 d e], A=QΛQᵀ». В третьей группе используются матрицы с заранее заданными нулями. Их разреженность снижает число коэффициентов, но связь между соседними состояниями по-прежнему меняет весь спектр. Например, на странице «Собственные значения разреженной симметричной матрицы 3×3» можно изменить Связь (1,2) и сравнить значение результата с исходным примером.

Что означают исходные числа

Коэффициенты задаются непосредственно: Главная диагональ (1), Связь (1,2), Главная диагональ (2). Дальше используются Связь (2,3), Главная диагональ (3), Пробный вектор (1), Пробный вектор (2), Пробный вектор (3), Номер собственного значения. Каждое число входит в матрицу, её проверку, выбранный вектор либо критерий численной допустимости. Для этого оператора важно явно указать Главная диагональ (1), Связь (1,2), Главная диагональ (2): от этих величин зависит матрица и последующий результат.

В примере Начальные значения: Главная диагональ (1) = 3, Связь (1,2) = 0.6, Главная диагональ (2) = 4, Связь (2,3) = 0.5, Главная диагональ (3) = 5, Пробный вектор (1) = 1, Пробный вектор (2) = -2, Пробный вектор (3) = 1, Номер собственного значения = 2. Размерность матрицы задана явно — введите коэффициенты в подписанные поля и сравните не только первый результат, но и контрольные инварианты. Например, на странице «Собственные значения разреженной симметричной матрицы 3×3» можно изменить Главная диагональ (2) и сравнить значение результата с исходным примером.

Порядок вычисления

Сначала строится оператор по выбранной модели. Затем рассчитываются Минимальное собственное значение, Максимальное собственное значение, Спектральный разрыв. Для симметричного оператора используется устойчивое диагонализующее преобразование; в задачах с дефектностью применяются точные алгебраические критерии. Критерии применяются именно к модели «A=[a b 0; b c d; 0 d e], A=QΛQᵀ»; при переходе к другой матрице вычислительную постановку нужно проверить заново.

При численных операциях округление производится при выдаче ответа, а промежуточные вычисления идут с двойной точностью. Результат нельзя безоговорочно переносить на матрицы других размеров и с другой структурой. Например, на странице «Собственные значения разреженной симметричной матрицы 3×3» можно изменить Связь (2,3) и сравнить значение результата с исходным примером.

Чтение результата

Для исходного примера получено: Минимальное собственное значение = 2.6982693, Максимальное собственное значение = 5.2332079, Спектральный разрыв = 2.5349386, Ошибка реконструкции QΛQᵀ = 0. Сопоставление нескольких этих величин помогает увидеть как алгебраическое свойство оператора, так и качество вычисления. Практический контроль проводится для случая «Собственные значения разреженной симметричной матрицы 3×3», а не для абстрактной матрицы без заданных коэффициентов.

Если собственное значение повторяется, отдельные векторы внутри соответствующего подпространства неоднозначны. Проверяйте восстановление QΛQᵀ, а не совпадение знаков отдельных компонент с учебником. Например, на странице «Собственные значения разреженной симметричной матрицы 3×3» можно изменить Главная диагональ (3) и сравнить значение результата с исходным примером.

Особые случаи и ограничения

Для несимметричной матрицы изучается регуляризованная симметричная AᵀA+ρI: это собственные значения грамовой матрицы, а не спектр самой A. Отдельно проверяйте входы Главная диагональ (1), Связь (1,2), Главная диагональ (2): именно они могут приблизить оператор к предельному математическому случаю.

При близких собственных числах геометрическая кратность не определяется только числом совпавших значений. Величины, описывающие невырожденность, трактуйте с учётом установленного допуска. За пределами семейства формула не заменяет общий символический расчёт матриц. Например, на странице «Собственные значения разреженной симметричной матрицы 3×3» можно изменить Пробный вектор (1) и сравнить значение результата с исходным примером.

Для чего применять в практике

В линейных моделях спектр описывает независимые направления, определённость позволяет оценить квадратичный функционал, а число обусловленности — устойчивость расчёта. Полярное разложение разделяет вращательную и растягивающую части. Для оценки полезно отслеживать, как изменение коэффициентов отражается на инвариантах в модели «A=[a b 0; b c d; 0 d e], A=QΛQᵀ».

Сравнивайте результаты при изменении значимых коэффициентов, особенно если оператор близок к особой точке: Матрица [3,1], Матрица [3,2], Матрица [3,3]. Не используйте результат в качестве доказательства вне указанных ограничений. Например, на странице «Собственные значения разреженной симметричной матрицы 3×3» можно изменить Пробный вектор (2) и сравнить значение результата с исходным примером.

Формула расчёта

Проверенные примеры

Как пользоваться онлайн-калькулятором

1. Введите Главная диагональ (1), Связь (1,2), Главная диагональ (2), Связь (2,3), Главная диагональ (3), Пробный вектор (1), Пробный вектор (2), Пробный вектор (3), Номер собственного значения.
2. Расчёт основан на модели «A=[a b 0; b c d; 0 d e], A=QΛQᵀ». Перед применением проверьте её симметрию, размерность и допустимость выбранных коэффициентов.
3. Сравните Минимальное собственное значение, Максимальное собственное значение, Спектральный разрыв, Ошибка реконструкции QΛQᵀ. При проверке устойчивости отдельно используйте оценку погрешности или невязку.