Обусловленность оператора с двукратным собственным значением

Зачем нужно число обусловленности

Число обусловленности κ₂(A) — отношение наибольшего и наименьшего сингулярных значений. Оно показывает потенциальное усиление относительной ошибки при решении Ax=b. Для несамосопряжённых матриц модулей собственных значений недостаточно. В проверочном примере используется запись «κ₂(λI+δuuᵀ)=max(|λ|,|λ+δ|)/min(|λ|,|λ+δ|)», так что при перестановке коэффициентов смысл расчёта меняется.

Для этой модели используется запись «κ₂(λI+δuuᵀ)=max(|λ|,|λ+δ|)/min(|λ|,|λ+δ|)». Вторая группа исследует кратные значения. Часть собственных направлений при этом не фиксируется единственным образом; геометрическая кратность и число жордановых блоков имеют самостоятельное значение. Например, на странице «Обусловленность оператора с двукратным собственным значением» можно изменить Добавка к отдельному собственному значению и сравнить значение результата с исходным примером.

Что означают исходные числа

Коэффициенты задаются непосредственно: Повторённое λ, Добавка к отдельному собственному значению, Первый угол собственных направлений. Дальше используются Второй угол, Порог сингулярности. Каждое число входит в матрицу, её проверку, выбранный вектор либо критерий численной допустимости. Для этого оператора важно явно указать Повторённое λ, Добавка к отдельному собственному значению, Первый угол собственных направлений: от этих величин зависит матрица и последующий результат.

В примере Начальные значения: Повторённое λ = 2, Добавка к отдельному собственному значению = 1, Первый угол собственных направлений = 0.5, Второй угол = 0.4, Порог сингулярности = 1e-07. Размерность матрицы задана явно — введите коэффициенты в подписанные поля и сравните не только первый результат, но и контрольные инварианты. Например, на странице «Обусловленность оператора с двукратным собственным значением» можно изменить Первый угол собственных направлений и сравнить значение результата с исходным примером.

Порядок вычисления

Сначала строится оператор по выбранной модели. Затем рассчитываются Число обусловленности κ₂, Наибольшее сингулярное значение, Наименьшее сингулярное значение. Для симметричного оператора используется устойчивое диагонализующее преобразование; в задачах с дефектностью применяются точные алгебраические критерии. Критерии применяются именно к модели «κ₂(λI+δuuᵀ)=max(|λ|,|λ+δ|)/min(|λ|,|λ+δ|)»; при переходе к другой матрице вычислительную постановку нужно проверить заново.

При численных операциях округление производится при выдаче ответа, а промежуточные вычисления идут с двойной точностью. Результат нельзя безоговорочно переносить на матрицы других размеров и с другой структурой. Например, на странице «Обусловленность оператора с двукратным собственным значением» можно изменить Второй угол и сравнить значение результата с исходным примером.

Чтение результата

Для исходного примера получено: Число обусловленности κ₂ = 1.5, Наибольшее сингулярное значение = 3, Наименьшее сингулярное значение = 2, Устойчивость: 1/κ₂ = 0.66666667. Сопоставление нескольких этих величин помогает увидеть как алгебраическое свойство оператора, так и качество вычисления. Практический контроль проводится для случая «Обусловленность оператора с двукратным собственным значением», а не для абстрактной матрицы без заданных коэффициентов.

После расчёта система решается с выбором ведущего элемента; невязка ||Ax−b|| позволяет проверить, воспроизводит ли найденный вектор исходную правую часть. Малой невязки недостаточно для уверенности при огромной κ₂. Например, на странице «Обусловленность оператора с двукратным собственным значением» можно изменить Порог сингулярности и сравнить значение результата с исходным примером.

Особые случаи и ограничения

Обусловленность в евклидовой норме определяется сингулярными значениями; нулевое минимальное значение означает вырожденность. Отдельно проверяйте входы Повторённое λ, Добавка к отдельному собственному значению, Первый угол собственных направлений: именно они могут приблизить оператор к предельному математическому случаю.

При близких собственных числах геометрическая кратность не определяется только числом совпавших значений. Величины, описывающие невырожденность, трактуйте с учётом установленного допуска. За пределами семейства формула не заменяет общий символический расчёт матриц. Например, на странице «Обусловленность оператора с двукратным собственным значением» можно изменить Повторённое λ и сравнить значение результата с исходным примером.

Для чего применять в практике

В линейных моделях спектр описывает независимые направления, определённость позволяет оценить квадратичный функционал, а число обусловленности — устойчивость расчёта. Полярное разложение разделяет вращательную и растягивающую части. Для оценки полезно отслеживать, как изменение коэффициентов отражается на инвариантах в модели «κ₂(λI+δuuᵀ)=max(|λ|,|λ+δ|)/min(|λ|,|λ+δ|)».

Сравнивайте результаты при изменении значимых коэффициентов, особенно если оператор близок к особой точке: Матрица [3,1], Матрица [3,2], Матрица [3,3]. Не используйте результат в качестве доказательства вне указанных ограничений. Например, на странице «Обусловленность оператора с двукратным собственным значением» можно изменить Добавка к отдельному собственному значению и сравнить значение результата с исходным примером.

Формула расчёта

Проверенные примеры

Как пользоваться онлайн-калькулятором

1. Введите Повторённое λ, Добавка к отдельному собственному значению, Первый угол собственных направлений, Второй угол, Порог сингулярности.
2. Расчёт основан на модели «κ₂(λI+δuuᵀ)=max(|λ|,|λ+δ|)/min(|λ|,|λ+δ|)». Перед применением проверьте её симметрию, размерность и допустимость выбранных коэффициентов.
3. Сравните Число обусловленности κ₂, Наибольшее сингулярное значение, Наименьшее сингулярное значение, Устойчивость: 1/κ₂. При проверке устойчивости отдельно используйте оценку погрешности или невязку.