Как проверить определённость
Для симметричной матрицы условие положительной определённости равносильно положительности всех собственных значений. В малой размерности удобно дополнительно смотреть главные угловые миноры. Для несимметричной матрицы квадратичная форма зависит только от симметричной части (A+Aᵀ)/2. В проверочном примере используется запись «A=λI+δuuᵀ, положительна ⇔ min(λ,λ+δ)>0», так что при перестановке коэффициентов смысл расчёта меняется.
Для этой модели используется запись «A=λI+δuuᵀ, положительна ⇔ min(λ,λ+δ)>0». Вторая группа исследует кратные значения. Часть собственных направлений при этом не фиксируется единственным образом; геометрическая кратность и число жордановых блоков имеют самостоятельное значение. Например, на странице «Положительность 3×3 с двукратно вырожденным спектром» можно изменить Спектральный сдвиг δ и сравнить значение результата с исходным примером.
Что означают исходные числа
Коэффициенты задаются непосредственно: Повторённое значение λ, Спектральный сдвиг δ, Азимут направления. Дальше используются Угол наклона, Порог положительности. Каждое число входит в матрицу, её проверку, выбранный вектор либо критерий численной допустимости. Для этого оператора важно явно указать Повторённое значение λ, Спектральный сдвиг δ, Азимут направления: от этих величин зависит матрица и последующий результат.
В примере Начальные значения: Повторённое значение λ = 1.2, Спектральный сдвиг δ = 2, Азимут направления = 0.5, Угол наклона = 0.4, Порог положительности = 1e-05. Размерность матрицы задана явно — введите коэффициенты в подписанные поля и сравните не только первый результат, но и контрольные инварианты. Например, на странице «Положительность 3×3 с двукратно вырожденным спектром» можно изменить Азимут направления и сравнить значение результата с исходным примером.
Порядок вычисления
Сначала строится оператор по выбранной модели. Затем рассчитываются Положительно определена (1 — да), Положительно полуопределена (1 — да), Отрицательно определена (1 — да). Для симметричного оператора используется устойчивое диагонализующее преобразование; в задачах с дефектностью применяются точные алгебраические критерии. Критерии применяются именно к модели «A=λI+δuuᵀ, положительна ⇔ min(λ,λ+δ)>0»; при переходе к другой матрице вычислительную постановку нужно проверить заново.
При численных операциях округление производится при выдаче ответа, а промежуточные вычисления идут с двойной точностью. Результат нельзя безоговорочно переносить на матрицы других размеров и с другой структурой. Например, на странице «Положительность 3×3 с двукратно вырожденным спектром» можно изменить Угол наклона и сравнить значение результата с исходным примером.
Чтение результата
Для исходного примера получено: Положительно определена (1 — да) = 1, Положительно полуопределена (1 — да) = 1, Отрицательно определена (1 — да) = 0, Минимальное собственное значение = 1.2. Сопоставление нескольких этих величин помогает увидеть как алгебраическое свойство оператора, так и качество вычисления. Практический контроль проводится для случая «Положительность 3×3 с двукратно вырожденным спектром», а не для абстрактной матрицы без заданных коэффициентов.
Строгая положительность и полуопределённость — разные свойства: нулевое собственное значение исключает строгую положительность. Порог eps позволяет решить, насколько близкий к нулю результат следует считать неопределённым численно. Например, на странице «Положительность 3×3 с двукратно вырожденным спектром» можно изменить Порог положительности и сравнить значение результата с исходным примером.
Особые случаи и ограничения
Проверяется строгое неравенство с заданным допуском; отрицательная определённость и полуопределённость не смешиваются. Отдельно проверяйте входы Повторённое значение λ, Спектральный сдвиг δ, Азимут направления: именно они могут приблизить оператор к предельному математическому случаю.
При близких собственных числах геометрическая кратность не определяется только числом совпавших значений. Величины, описывающие невырожденность, трактуйте с учётом установленного допуска. За пределами семейства формула не заменяет общий символический расчёт матриц. Например, на странице «Положительность 3×3 с двукратно вырожденным спектром» можно изменить Повторённое значение λ и сравнить значение результата с исходным примером.
Для чего применять в практике
В линейных моделях спектр описывает независимые направления, определённость позволяет оценить квадратичный функционал, а число обусловленности — устойчивость расчёта. Полярное разложение разделяет вращательную и растягивающую части. Для оценки полезно отслеживать, как изменение коэффициентов отражается на инвариантах в модели «A=λI+δuuᵀ, положительна ⇔ min(λ,λ+δ)>0».
Сравнивайте результаты при изменении значимых коэффициентов, особенно если оператор близок к особой точке: Матрица [3,1], Матрица [3,2], Матрица [3,3]. Не используйте результат в качестве доказательства вне указанных ограничений. Например, на странице «Положительность 3×3 с двукратно вырожденным спектром» можно изменить Спектральный сдвиг δ и сравнить значение результата с исходным примером.
Формула расчёта
A=λI+δuuᵀ, положительна ⇔ min(λ,λ+δ)>0
Проверенные примеры
Начальные значения: Повторённое значение λ = 1.2, Спектральный сдвиг δ = 2, Азимут направления = 0.5, Угол наклона = 0.4, Порог положительности = 1e-05.
Калькулятор выдаёт: Положительно определена (1 — да) = 1, Положительно полуопределена (1 — да) = 1, Отрицательно определена (1 — да) = 0, Минимальное собственное значение = 1.2. Измените один из параметров и сравните показанные величины.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите Повторённое значение λ, Спектральный сдвиг δ, Азимут направления, Угол наклона, Порог положительности.
- Расчёт основан на модели «A=λI+δuuᵀ, положительна ⇔ min(λ,λ+δ)>0». Перед применением проверьте её симметрию, размерность и допустимость выбранных коэффициентов.
- Сравните Положительно определена (1 — да), Положительно полуопределена (1 — да), Отрицательно определена (1 — да), Минимальное собственное значение. При проверке устойчивости отдельно используйте оценку погрешности или невязку.