Спектр матрицы рангового возмущения с двойным корнем

Как устроено спектральное разложение

Вещественную симметричную матрицу можно представить как QΛQᵀ. Столбцы Q — ортонормированные собственные направления, диагональ Λ содержит собственные значения. По ним определяют направления максимального и минимального растяжения квадратичной формы. В проверочном примере используется запись «A=λI+δuuᵀ, |u|=1; спектр {λ,λ,λ+δ}», так что при перестановке коэффициентов смысл расчёта меняется.

Для этой модели используется запись «A=λI+δuuᵀ, |u|=1; спектр {λ,λ,λ+δ}». Вторая группа исследует кратные значения. Часть собственных направлений при этом не фиксируется единственным образом; геометрическая кратность и число жордановых блоков имеют самостоятельное значение. Например, на странице «Спектр матрицы рангового возмущения с двойным корнем» можно изменить Изменение отдельного собственного значения и сравнить значение результата с исходным примером.

Что означают исходные числа

Коэффициенты задаются непосредственно: Дважды повторённое собственное значение λ, Изменение отдельного собственного значения, Первый угол направления. Дальше используются Второй угол направления, Номер спектрального значения. Каждое число входит в матрицу, её проверку, выбранный вектор либо критерий численной допустимости. Для этого оператора важно явно указать Дважды повторённое собственное значение λ, Изменение отдельного собственного значения, Первый угол направления: от этих величин зависит матрица и последующий результат.

В примере Начальные значения: Дважды повторённое собственное значение λ = 2, Изменение отдельного собственного значения = 3, Первый угол направления = 0.6, Второй угол направления = 0.4, Номер спектрального значения = 3. Размерность матрицы задана явно — введите коэффициенты в подписанные поля и сравните не только первый результат, но и контрольные инварианты. Например, на странице «Спектр матрицы рангового возмущения с двойным корнем» можно изменить Первый угол направления и сравнить значение результата с исходным примером.

Порядок вычисления

Сначала строится оператор по выбранной модели. Затем рассчитываются Минимальное собственное значение, Максимальное собственное значение, Спектральный разрыв. Для симметричного оператора используется устойчивое диагонализующее преобразование; в задачах с дефектностью применяются точные алгебраические критерии. Критерии применяются именно к модели «A=λI+δuuᵀ, |u|=1; спектр {λ,λ,λ+δ}»; при переходе к другой матрице вычислительную постановку нужно проверить заново.

При численных операциях округление производится при выдаче ответа, а промежуточные вычисления идут с двойной точностью. Результат нельзя безоговорочно переносить на матрицы других размеров и с другой структурой. Например, на странице «Спектр матрицы рангового возмущения с двойным корнем» можно изменить Второй угол направления и сравнить значение результата с исходным примером.

Чтение результата

Для исходного примера получено: Минимальное собственное значение = 2, Максимальное собственное значение = 5, Спектральный разрыв = 3, Ошибка реконструкции QΛQᵀ = 0. Сопоставление нескольких этих величин помогает увидеть как алгебраическое свойство оператора, так и качество вычисления. Практический контроль проводится для случая «Спектр матрицы рангового возмущения с двойным корнем», а не для абстрактной матрицы без заданных коэффициентов.

Если собственное значение повторяется, отдельные векторы внутри соответствующего подпространства неоднозначны. Проверяйте восстановление QΛQᵀ, а не совпадение знаков отдельных компонент с учебником. Например, на странице «Спектр матрицы рангового возмущения с двойным корнем» можно изменить Номер спектрального значения и сравнить значение результата с исходным примером.

Особые случаи и ограничения

Для несимметричной матрицы изучается регуляризованная симметричная AᵀA+ρI: это собственные значения грамовой матрицы, а не спектр самой A. Отдельно проверяйте входы Дважды повторённое собственное значение λ, Изменение отдельного собственного значения, Первый угол направления: именно они могут приблизить оператор к предельному математическому случаю.

При близких собственных числах геометрическая кратность не определяется только числом совпавших значений. Величины, описывающие невырожденность, трактуйте с учётом установленного допуска. За пределами семейства формула не заменяет общий символический расчёт матриц. Например, на странице «Спектр матрицы рангового возмущения с двойным корнем» можно изменить Дважды повторённое собственное значение λ и сравнить значение результата с исходным примером.

Для чего применять в практике

В линейных моделях спектр описывает независимые направления, определённость позволяет оценить квадратичный функционал, а число обусловленности — устойчивость расчёта. Полярное разложение разделяет вращательную и растягивающую части. Для оценки полезно отслеживать, как изменение коэффициентов отражается на инвариантах в модели «A=λI+δuuᵀ, |u|=1; спектр {λ,λ,λ+δ}».

Сравнивайте результаты при изменении значимых коэффициентов, особенно если оператор близок к особой точке: Матрица [3,1], Матрица [3,2], Матрица [3,3]. Не используйте результат в качестве доказательства вне указанных ограничений. Например, на странице «Спектр матрицы рангового возмущения с двойным корнем» можно изменить Изменение отдельного собственного значения и сравнить значение результата с исходным примером.

Формула расчёта

Проверенные примеры

Как пользоваться онлайн-калькулятором

1. Введите Дважды повторённое собственное значение λ, Изменение отдельного собственного значения, Первый угол направления, Второй угол направления, Номер спектрального значения.
2. Расчёт основан на модели «A=λI+δuuᵀ, |u|=1; спектр {λ,λ,λ+δ}». Перед применением проверьте её симметрию, размерность и допустимость выбранных коэффициентов.
3. Сравните Минимальное собственное значение, Максимальное собственное значение, Спектральный разрыв, Ошибка реконструкции QΛQᵀ. При проверке устойчивости отдельно используйте оценку погрешности или невязку.