Зачем нужно число обусловленности
Число обусловленности κ₂(A) — отношение наибольшего и наименьшего сингулярных значений. Оно показывает потенциальное усиление относительной ошибки при решении Ax=b. Для несамосопряжённых матриц модулей собственных значений недостаточно. В проверочном примере используется запись «κ₂(A)=σmax(A)/σmin(A), Ax=b», так что при перестановке коэффициентов смысл расчёта меняется.
Для этой модели используется запись «κ₂(A)=σmax(A)/σmin(A), Ax=b». В первой группе коэффициенты независимы: симметрия не предполагается до построения соответствующего квадратичного или спектрального оператора. Например, на странице «Число обусловленности произвольной матрицы 2×2» можно изменить A₁₂ и сравнить значение результата с исходным примером.
Что означают исходные числа
Коэффициенты задаются непосредственно: A₁₁, A₁₂, A₂₁. Дальше используются A₂₂, Первый компонент правой части, Второй компонент правой части, Порог вырождения. Каждое число входит в матрицу, её проверку, выбранный вектор либо критерий численной допустимости. Для этого оператора важно явно указать A₁₁, A₁₂, A₂₁: от этих величин зависит матрица и последующий результат.
В примере Начальные значения: A₁₁ = 3, A₁₂ = 0.6, A₂₁ = 1, A₂₂ = 2, Первый компонент правой части = 1, Второй компонент правой части = 2, Порог вырождения = 1e-08. Размерность матрицы задана явно — введите коэффициенты в подписанные поля и сравните не только первый результат, но и контрольные инварианты. Например, на странице «Число обусловленности произвольной матрицы 2×2» можно изменить A₂₁ и сравнить значение результата с исходным примером.
Порядок вычисления
Сначала строится оператор по выбранной модели. Затем рассчитываются Число обусловленности κ₂, Наибольшее сингулярное значение, Наименьшее сингулярное значение. Для симметричного оператора используется устойчивое диагонализующее преобразование; в задачах с дефектностью применяются точные алгебраические критерии. Критерии применяются именно к модели «κ₂(A)=σmax(A)/σmin(A), Ax=b»; при переходе к другой матрице вычислительную постановку нужно проверить заново.
При численных операциях округление производится при выдаче ответа, а промежуточные вычисления идут с двойной точностью. Результат нельзя безоговорочно переносить на матрицы других размеров и с другой структурой. Например, на странице «Число обусловленности произвольной матрицы 2×2» можно изменить A₂₂ и сравнить значение результата с исходным примером.
Чтение результата
Для исходного примера получено: Число обусловленности κ₂ = 2.2059372, Наибольшее сингулярное значение = 3.4513854, Наименьшее сингулярное значение = 1.5645891, Устойчивость: 1/κ₂ = 0.45332206. Сопоставление нескольких этих величин помогает увидеть как алгебраическое свойство оператора, так и качество вычисления. Практический контроль проводится для случая «Число обусловленности произвольной матрицы 2×2», а не для абстрактной матрицы без заданных коэффициентов.
После расчёта система решается с выбором ведущего элемента; невязка ||Ax−b|| позволяет проверить, воспроизводит ли найденный вектор исходную правую часть. Малой невязки недостаточно для уверенности при огромной κ₂. Например, на странице «Число обусловленности произвольной матрицы 2×2» можно изменить Первый компонент правой части и сравнить значение результата с исходным примером.
Особые случаи и ограничения
Обусловленность в евклидовой норме определяется сингулярными значениями; нулевое минимальное значение означает вырожденность. Отдельно проверяйте входы A₁₁, A₁₂, A₂₁: именно они могут приблизить оператор к предельному математическому случаю.
При близких собственных числах геометрическая кратность не определяется только числом совпавших значений. Величины, описывающие невырожденность, трактуйте с учётом установленного допуска. За пределами семейства формула не заменяет общий символический расчёт матриц. Например, на странице «Число обусловленности произвольной матрицы 2×2» можно изменить Второй компонент правой части и сравнить значение результата с исходным примером.
Для чего применять в практике
В линейных моделях спектр описывает независимые направления, определённость позволяет оценить квадратичный функционал, а число обусловленности — устойчивость расчёта. Полярное разложение разделяет вращательную и растягивающую части. Для оценки полезно отслеживать, как изменение коэффициентов отражается на инвариантах в модели «κ₂(A)=σmax(A)/σmin(A), Ax=b».
Сравнивайте результаты при изменении значимых коэффициентов, особенно если оператор близок к особой точке: Матрица [1,2], Матрица [2,1], Матрица [2,2]. Не используйте результат в качестве доказательства вне указанных ограничений. Например, на странице «Число обусловленности произвольной матрицы 2×2» можно изменить Порог вырождения и сравнить значение результата с исходным примером.
Формула расчёта
κ₂(A)=σmax(A)/σmin(A), Ax=b
Проверенные примеры
Начальные значения: A₁₁ = 3, A₁₂ = 0.6, A₂₁ = 1, A₂₂ = 2, Первый компонент правой части = 1, Второй компонент правой части = 2, Порог вырождения = 1e-08.
Калькулятор выдаёт: Число обусловленности κ₂ = 2.2059372, Наибольшее сингулярное значение = 3.4513854, Наименьшее сингулярное значение = 1.5645891, Устойчивость: 1/κ₂ = 0.45332206. Измените один из параметров и сравните показанные величины.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите A₁₁, A₁₂, A₂₁, A₂₂, Первый компонент правой части, Второй компонент правой части, Порог вырождения.
- Расчёт основан на модели «κ₂(A)=σmax(A)/σmin(A), Ax=b». Перед применением проверьте её симметрию, размерность и допустимость выбранных коэффициентов.
- Сравните Число обусловленности κ₂, Наибольшее сингулярное значение, Наименьшее сингулярное значение, Устойчивость: 1/κ₂. При проверке устойчивости отдельно используйте оценку погрешности или невязку.