Что такое собственное значение
Число λ называют собственным значением матрицы A, если существует ненулевой вектор v, для которого Av = λv. Иначе говоря, преобразование A действует на этот вектор как простое умножение на число: направление сохраняется, а длина меняется в |λ| раз, при отрицательном λ направление меняется на противоположное.
Равенство Av = λv можно переписать как (A − λE)v = 0. Ненулевое решение существует только тогда, когда матрица A − λE вырождена, то есть det(A − λE) = 0. Это уравнение называют характеристическим.
Вывод формулы для матрицы 2×2
Для матрицы с элементами a, b, c, d определитель det(A − λE) = (a − λ)(d − λ) − bc. Раскрыв скобки, получаем λ² − (a + d)λ + (ad − bc) = 0, то есть λ² − tr·λ + det = 0. По формуле корней квадратного уравнения λ = (tr ± √(tr² − 4det)) / 2.
Дискриминант можно записать иначе: tr² − 4det = (a − d)² + 4bc. Именно в такой форме его вычисляет калькулятор: она удобнее для проверки, ведь для симметричной матрицы (b = c) выражение превращается в сумму неотрицательных слагаемых и всегда неотрицательно.
Два числовых примера
Для матрицы с элементами 4, 1, 2, 3 след равен 7, определитель 4 · 3 − 1 · 2 = 10, дискриминант (4 − 3)² + 4 · 1 · 2 = 9. Корни λ = (7 ± 3) / 2 дают 5 и 2. Проверка: 5 + 2 = 7 совпадает со следом, 5 · 2 = 10 совпадает с определителем.
Для матрицы 1, 2, 3, 4 след равен 5, определитель −2, дискриминант 25 + 8 = 33. Корни (5 ± √33) / 2 ≈ 5,372 и −0,372 иррациональны. Один из них отрицателен, значит, преобразование не только растягивает вдоль одного направления, но и разворачивает вдоль другого.
Комплексные и кратные корни
Если (a − d)² + 4bc < 0, вещественных собственных значений нет. Типичный пример — поворот плоскости на 90°, матрица 0, −1, 1, 0: ни один ненулевой вектор не сохраняет направление, а характеристическое уравнение λ² + 1 = 0 даёт корни ±i.
При нулевом дискриминанте корень один, двукратный. Тогда матрица либо кратна единичной, либо не диагонализируется, и числа λ недостаточно для описания поведения. Калькулятор отклоняет такой ввод, чтобы не создавать иллюзии полноты ответа.
Где пригодятся собственные значения
В системах линейных дифференциальных уравнений x′ = Ax знаки собственных значений определяют устойчивость: если оба отрицательны, решения затухают, если хотя бы одно положительно, растут. В статистике собственные значения ковариационной матрицы показывают дисперсию вдоль главных осей данных.
Определитель равен произведению собственных значений, а след — их сумме. Эти два свойства часто позволяют оценить спектр, даже не решая уравнения, и служат быстрой проверкой любого вычисления.
Формула расчёта
λ² − (a + d)·λ + (ad − bc) = 0, λ₁,₂ = (tr ± √((a − d)² + 4bc)) / 2
Проверенные примеры
Найдите собственные значения матрицы с элементами 2, 1, 1, 2.
След равен 4, определитель 3. Корни уравнения λ² − 4λ + 3 = 0: λ₁ = 3, λ₂ = 1.
Матрица с элементами 4, 1, 2, 3.
След 7, определитель 10, подкоренное выражение (4 − 3)² + 4 · 1 · 2 = 9. Тогда λ = (7 ± 3) / 2, то есть 5 и 2.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Впишите четыре элемента матрицы построчно: a, b, затем c, d.
- Нажмите «Рассчитать».
- Прочитайте λ₁, λ₂, а для самопроверки — след и определитель.