Почему ответ равен НОД
Квадрат со стороной s помещается вдоль длины целое число раз, если s делит a, и вдоль ширины целое число раз, если s делит b. Значит, s обязан быть общим делителем обоих чисел.
Среди общих делителей нужен наибольший: чем крупнее квадраты, тем их меньше и тем проще работа. Это определение наибольшего общего делителя, поэтому s = НОД(a, b).
Нахождение НОД алгоритмом Евклида
Для 252 и 105 делим большее на меньшее: 252 = 2·105 + 42. Затем делим 105 на остаток: 105 = 2·42 + 21. Наконец, 42 = 2·21 + 0. Последний ненулевой остаток 21 — искомый НОД.
Метод основан на том, что НОД(a, b) = НОД(b, a mod b). Он работает быстро даже для больших чисел: количество шагов растёт примерно как логарифм меньшего числа.
Сколько получится квадратов
Сторона квадрата равна 21, значит, вдоль длины их укладывается 252 / 21 = 12, вдоль ширины 105 / 21 = 5. Всего 12 · 5 = 60 квадратов. Проверка по площади: 252 · 105 = 26 460, 60 · 441 = 26 460.
Для 48 × 18 НОД равен 6 и получается 8 · 3 = 24 квадрата. Если стороны взаимно просты, например 17 и 5, НОД равен 1, и придётся резать на единичные квадраты — их 85.
Другие допустимые размеры
Меньшие квадраты тоже подходят, но только со стороной, которая делит НОД. Для 252 × 105 допустимы стороны 1, 3, 7 и 21: делители числа 21. Квадрат со стороной 4 или 5 уже не даст целой укладки.
Это удобно, если нужен квадрат определённого размера: достаточно проверить, делит ли он НОД. Чем больше у НОД делителей, тем больше вариантов у раскроя.
Обратная задача и роль НОК
Если же из одинаковых прямоугольников нужно сложить квадрат, ответ даёт НОК. Для прямоугольников 252 × 105 наименьший квадрат имеет сторону 1260: вдоль неё помещается 5 длин и 12 ширин.
Калькулятор показывает НОК рядом с НОД, потому что задачи связаны формулой НОД · НОК = a · b. Для 252 и 105 проверка: 21 · 1260 = 26 460 = 252 · 105.
Единицы и практические оговорки
Размеры вводятся целыми числами в одной единице. Если прямоугольник 2,4 × 1,8 м, переведите его в сантиметры: 240 × 180, и НОД будет равен 60 см. Дробные величины калькулятор не принимает.
В реальной работе нужно учитывать швы, пропил и допуски на размеры. Они уменьшают полезный размер каждого квадрата, поэтому результат — идеальное деление, а не готовый проект раскладки.
Практический пример с плиткой
Пол 2,4 × 1,8 м в сантиметрах — это 240 × 180, а НОД равен 60 см. Получается 4 × 3 = 12 квадратных плит 60 × 60 см без подрезки. Если нужна плитка меньше, подойдут размеры 30, 20, 15 или 12 см — делители числа 60.
Если подходящей плитки в продаже нет, расчёт подскажет, что без подрезки пол не замостить, и подрезку придётся планировать заранее. Толщину швов к результату нужно добавлять отдельно.
Формула расчёта
s = НОД(a, b), N = (a / s)·(b / s)
Проверенные примеры
Найдите наибольший квадрат и их число.
НОД(252, 105) = 21, N = 12·5 = 60 квадратов со стороной 21.
Найдите наибольший квадрат и их число.
НОД(48, 18) = 6, N = 8·3 = 24 квадрата со стороной 6.
Найдите наибольший квадрат.
НОД(17, 5) = 1: только квадраты 1 × 1, их 85.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите длину и ширину прямоугольника целыми числами в одной единице.
- Нажмите «Вычислить»: НОД — сторона наибольшего квадрата.
- Разделите длину и ширину на НОД и перемножьте частные: так найдётся число квадратов.