Целый положительный показатель
Для натурального n выражение aⁿ равно произведению n множителей, равных a. Так, 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81. Если основание отрицательно, знак результата зависит от чётности показателя: (−2)⁴ = 16, но (−2)⁵ = −32.
Быстро растущие степени удобно оценивать по степеням двойки и десяти: 2¹⁰ = 1024 примерно равно тысяче, а 2²⁰ — миллиону. Именно поэтому объём памяти и числа в информатике измеряются степенями двойки.
Нулевой и отрицательный показатель
Отрицательный показатель означает обратную величину: a⁻ⁿ = 1 / aⁿ. Например, 2⁻³ = 1 / 8 = 0,125, а 10⁻⁶ = 0,000001. Такая запись удобна для очень малых величин и лежит в основе приставок «милли», «микро», «нано».
Нулевой показатель по соглашению даёт единицу: a⁰ = 1 при a ≠ 0. Это согласуется со свойством aᵐ / aᵐ = a^(m − m) = a⁰ = 1. Для 0⁰ в анализе единого значения нет, однако в комбинаторике и в записи многочленов принято считать его равным 1; так же поступает калькулятор.
Дробный показатель и корни
Степень с показателем 1/n — это корень n-й степени: a^(1/n) = ⁿ√a. В общем случае a^(p/q) = (ᑫ√a)ᵖ. Поэтому 9^0,5 = 3, 16^0,25 = 2, а 2^0,5 = √2 ≈ 1,414214.
При вводе десятичных дробей учитывайте, что число вроде 0,333 лишь приближает 1/3, поэтому 27^0,333 немного отличается от 3. Для точных корней лучше использовать калькулятор корня n-й степени, где показатель задаётся целым числом.
Недопустимые случаи
Нуль нельзя возводить в отрицательную степень: 0⁻² = 1 / 0², а это деление на нуль. Отрицательное основание нельзя возводить в нецелую степень, поскольку (−4)^0,5 = √(−4) не имеет вещественного значения. В обоих случаях калькулятор сообщает об ошибке, а не подставляет приближённое число.
Также отклоняются результаты, по модулю превышающие 10¹⁵: так, 2⁴⁹ ≈ 5,6 · 10¹⁴ вычисляется, а 2⁵⁰ ≈ 1,1 · 10¹⁵ уже нет. Это защищает от потери точности и от случайной подстановки гигантских значений в дальнейшие расчёты.
Основные свойства степеней
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. При делении вычитаются: aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. При возведении степени в степень показатели перемножаются: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, а (ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
Эти правила помогают проверять результат. Например, 1,05¹⁰ = (1,05⁵)² ≈ 1,2763² ≈ 1,6289, что совпадает с прямым расчётом. Для сложных процентов именно такая проверка позволяет заметить ошибку в числе периодов.
Формула расчёта
aᵇ; a⁻ᵇ = 1 / aᵇ; a^(p/q) = ᑫ√(aᵖ)
Проверенные примеры
Вклад растёт на 5% в год. Во сколько раз он увеличится за 10 лет?
Множитель роста 1,05 возводится в десятую степень: 1,05¹⁰ ≈ 1,628895, то есть вклад вырастет примерно на 62,9%.
Вычислите 2⁻³.
2⁻³ = 1 / 2³ = 1 / 8 = 0,125.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите основание a — число, которое возводится в степень.
- Введите показатель b: целый, дробный или отрицательный.
- Нажмите «Рассчитать» и прочитайте результат aᵇ.