Цена как сумма приведённых платежей
У облигации с постоянным купоном известны все будущие платежи: n выплат по C = N·c/m и номинал N в конце. Цена равна сумме их приведённых стоимостей при периодической ставке y = Y/m: P = Σ C/(1 + y)ᵗ + N/(1 + y)ⁿ. Число периодов равно n = m·T, где T — срок в годах, а m — число выплат в год.
Эквивалентная замкнутая запись: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + N/(1 + y)ⁿ. Первое слагаемое — приведённая стоимость аннуитета купонов, второе — приведённый номинал. При y = 0 цена просто равна сумме всех будущих выплат.
Пример: дисконт и премия
Облигация номиналом 1 000 ₽ с купоном 8% годовых, который выплачивается два раза в год, и сроком 5 лет при требуемой доходности 10% стоит около 922,78 ₽: купон по 40 ₽ каждые полгода дисконтируется по ставке 5% за период. Цена ниже номинала, потому что купон 8% хуже, чем доходность, которую требует рынок.
Если же купон 12% выплачивается раз в год на трёхлетней облигации, а требуемая доходность составляет 9%, цена вырастает до 1 075,94 ₽ — выше номинала. Инвестор платит премию за повышенный купон, и его итоговая доходность к погашению снижается до рыночных 9%.
Связь цены и ставок
Цена и доходность движутся в разные стороны. При росте рыночной доходности приведённая стоимость фиксированных платежей падает, при снижении — растёт. Чем дольше срок до погашения и меньше купон, тем сильнее цена реагирует на изменение ставок: бескупонная облигация на 10 лет под 8% стоит около 463 ₽ за 1000 номинала.
Поэтому долгосрочные облигации считаются более чувствительными к процентному риску. Если вы собираетесь держать бумагу до погашения, колебания цены в пути не меняют итоговую доходность, но если продадите раньше срока, можете получить как прибыль, так и убыток.
Чистая цена, НКД и рыночные котировки
Биржевые котировки облигаций выражаются чаще в процентах от номинала и указывают чистую цену. Дополнительно покупатель платит накопленный купонный доход — долю очередного купона за дни, прошедшие с последней выплаты. Калькулятор показывает чистую цену для момента сразу после купона, когда НКД равен нулю.
Поэтому цифра из расчёта может заметно отличаться от текущей котировки конкретного выпуска: на рынке цена зависит от календаря выплат, спроса, кредитного качества эмитента, налогов и комиссий. Расчёт нужен для понимания механики, а не для определения справедливой цены сделки.
Ограничения модели
Модель предполагает фиксированные купоны, выплачиваемые через равные промежутки, и номинал, возвращаемый в конце срока. Она не описывает облигации с плавающим купоном, амортизацией, офертами, досрочным погашением и конвертацией. Риск дефолта в формулу не входит и должен учитываться в требуемой доходности.
Ставка доходности вводится как номинальная годовая, а периодическая ставка получается делением на число выплат. Результат не является инвестиционной рекомендацией; перед покупкой изучите условия выпуска и налогообложение.
Формула расчёта
P = Σₜ C/(1+y)ᵗ + N/(1+y)ⁿ, C = N·c/m, y = Y/m, n = m·T
Проверенные примеры
Номинал 1 000 ₽, купон 8% годовых выплачивается два раза в год, срок 5 лет, требуемая доходность 10%. Какова цена?
Купон за период C = 1000·0,08/2 = 40 ₽, периодов n = 10, ставка за период y = 5%. Цена P ≈ 922,78 ₽ — ниже номинала, потому что купон меньше требуемой доходности.
Номинал 1 000 ₽, купон 12% раз в год, 3 года, доходность 9%.
Купон C = 120 ₽, y = 9%, n = 3. Цена P ≈ 1 075,94 ₽ — выше номинала, так как купон больше требуемой доходности.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите номинал и годовую ставку купона.
- Укажите требуемую доходность, срок до погашения и число купонных выплат в год.
- Нажмите «Рассчитать» и сравните цену с номиналом: она показывает дисконт или премию.