Кинетическое уравнение и его решение
Скорость реакции первого порядка записывается как dC/dt = −kC, где k — константа скорости с размерностью обратного времени. Решением служит экспонента C(t) = C₀·e^(−kt): через каждый одинаковый промежуток времени концентрация уменьшается в одно и то же число раз.
Чтобы применить калькулятор, введите a = −k, b = 0, начальную концентрацию и время в согласованных единицах. Например, при C₀ = 0,8 моль/л и k = 0,05 мин⁻¹ через 20 мин получаем C = 0,8 · e^(−1) ≈ 0,294 моль/л, то есть остаётся около 36,8 процента исходного количества.
Период полупревращения и время на заданную долю
Период полупревращения равен t½ = ln 2 / k и не зависит от начальной концентрации. При k = 0,05 мин⁻¹ он составляет около 13,86 мин: за это время концентрация падает вдвое, за два периода — вчетверо, за три — в восемь раз.
Если нужно время, за которое реагент расходуется до заданной доли, используйте обратную формулу t = ln(C₀/C) / k. Для снижения до десятой части требуется t = ln 10 / k ≈ 2,303 / k, то есть около 46 мин при той же константе. Калькулятор считает прямую задачу, а время можно подобрать, меняя t.
Постоянный приток и стационарная концентрация
В открытых системах вещество одновременно расходуется и поступает с постоянной скоростью b. Уравнение y′ = −ky + b даёт решение y(t) = (y₀ − b/k)·e^(−kt) + b/k. Концентрация стремится к стационарному значению b/k, не зависящему от начальных условий.
Пример: в реактор без реагента подаётся 1 моль/(л·мин), а k = 0,5 мин⁻¹. Через 2 мин концентрация равна 2 · (1 − e^(−1)) ≈ 1,264 моль/л, а предельное значение составит 2 моль/л. Если стартовая концентрация выше b/k, она будет не расти, а снижаться к этому уровню.
Особые случаи: a = 0 и a > 0
При a = 0 экспоненциальной части нет, и решение превращается в y = y₀ + b·t: вещество просто накапливается с постоянной скоростью, как в реакции нулевого порядка при избытке исходного вещества. Калькулятор обрабатывает этот случай отдельно, чтобы не делить на ноль.
Положительное a описывает экспоненциальное увеличение: именно так растёт концентрация продукта в автокаталитической реакции на начальной стадии. Но при таком значении произведение a·t быстро растёт, поэтому расчёт ограничен условием |a·t| ≤ 50, и результат нужно понимать только как математическую модель.
Что не учитывает расчёт
Константа скорости зависит от температуры по уравнению Аррениуса, а калькулятор принимает её как заданную. Для другого значения температуры нужно использовать другую константу, определённую экспериментально или рассчитанную отдельно по энергии активации.
Реакции второго порядка, обратимые, последовательные и параллельные процессы описываются другими уравнениями. Чтобы убедиться в применимости первого порядка, постройте график ln C от времени по экспериментальным точкам: если точки ложатся на прямую, то модель подходит, а её наклон даёт −k.
Формула расчёта
y(t) = (y₀ + b/a) · e^(a·t) − b/a, при b = 0: C(t) = C₀ · e^(−k·t)
Проверенные примеры
Начальная концентрация 0,8 моль/л, константа скорости k = 0,05 мин⁻¹. Какой станет концентрация через 20 мин?
a = −0,05, b = 0. C = 0,8 · e^(−1) ≈ 0,2943 моль/л. Период полупревращения ln 2 / 0,05 ≈ 13,86 мин, поэтому за 20 мин концентрация упала больше чем вдвое.
В реактор без реагента (y₀ = 0) поступает 1 моль/(л·мин), реагент расходуется с k = 0,5 мин⁻¹. Чему равна концентрация через 2 мин?
a = −0,5, b = 1, поэтому b/a = −2 и y = (0 − 2) · e^(−1) + 2 = 2 · (1 − e^(−1)) ≈ 1,264 моль/л; предельное значение равно b/k = 2 моль/л.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Определите константу скорости k и введите её в поле a со знаком минус (если k = 0,05 мин⁻¹, то a = −0,05).
- Введите начальную концентрацию и время в согласованных единицах; приток b оставьте равным нулю для обычной реакции.
- Нажмите «Рассчитать»: в строке y(t) вы увидите концентрацию в момент t.