Уравнение баланса вещества
Скорость изменения концентрации складывается из притока и расхода: dc/dt = b − k·c. Приток b постоянен и измеряется в моль/(л·мин), а расход пропорционален текущей концентрации с константой k в обратных минутах. Чем больше накоплено вещества, тем быстрее оно расходуется.
Решение уравнения при начальной концентрации c0 имеет вид c(t) = c0·e^(−kt) + (b/k)(1 − e^(−kt)). Первое слагаемое описывает затухание начального запаса, второе — постепенное накопление до уровня b/k.
Размерности подсказывают, где ошибка: b/k имеет размерность моль/л, то есть совпадает с размерностью концентрации. Если после подстановки единицы не сходятся, значит, время в константе и в скорости образования выражено по-разному, например в минутах и секундах.
Стационарный уровень и скорость выхода на него
При t, стремящемся к бесконечности, экспонента исчезает, и концентрация приближается к b/k. Для k = 0,2 мин⁻¹ и b = 0,1 моль/(л·мин) плато составляет 0,5 моль/л. Период полупревращения расхода равен ln 2 / k ≈ 3,47 мин, но на 95 % пути к плато система выходит за ln 20 / k ≈ 15,0 мин.
Через 5 минут при начале с нуля достигается 0,3161 моль/л, то есть около 63 % плато, поскольку k·t = 1 и 1 − e⁻¹ ≈ 0,632. Через 40 минут значение практически сливается с плато: 0,4998 моль/л.
Как вводить константу и как не запутаться в знаках
Движок использует форму y′ = a·y + b, поэтому для расхода в поле a вводят −k. Для константы 0,2 мин⁻¹ нужно ввести −0,2. Если ввести положительное значение, получится не распад, а экспоненциальный рост, а это уже другая физическая ситуация.
Значение a = 0 означает отсутствие расхода. Тогда концентрация растёт линейно: c = c0 + b·t. Например, при c0 = 1 моль/л, b = 0,05 моль/(л·мин) и t = 10 мин получается 1,5 моль/л.
Начальную концентрацию и скорость образования вводят неотрицательными. Отрицательная скорость образования означала бы постоянный отток вещества, а это уже нулевой порядок убыли, и такой случай лучше рассматривать отдельно.
Где применяется модель
Схема подходит для описания промежуточных продуктов цепочечных реакций, когда исходное вещество в избытке и скорость образования приблизительно постоянна. Её используют и для проточных реакторов с постоянной подачей и разложением, и для оценки накопления токсичного побочного продукта.
Для учебной задачи по кинетике достаточно сравнить расчёт с экспериментом: если опытная кривая выходит на плато иначе, значит, порядок расхода отличается от первого или источник нестабилен. Полезно построить сравнение в нескольких точках: ранний участок определяется источником, поздний участок — константой расхода.
Границы модели
Модель не учитывает обратимость, изменение объёма и зависимость константы от температуры. Для сложных механизмов нужна система нескольких уравнений.
Результат предназначен для обучения и предварительной оценки. Для проектирования процессов используйте экспериментально определённые константы и профессиональные методы.
Расчёт показывает только поведение концентрации. Он не оценивает безопасность вещества, которое накапливается в системе, и не заменяет контроль технологического процесса и лабораторные измерения.
Формула расчёта
c(t) = c0·e^(−kt) + (b/k)·(1 − e^(−kt))
Проверенные примеры
c0 = 0, k = 0,2 мин⁻¹, b = 0,1 моль/(л·мин). Какова концентрация через 5 мин?
Стационарный уровень b/k = 0,5 моль/л; c = 0,5·(1 − e^(−1)) ≈ 0,3161 моль/л.
c0 = 0,8 моль/л, k = 0,5 мин⁻¹, b = 0,1 моль/(л·мин). Найдите c через 3 мин.
b/k = 0,2 моль/л; c = 0,2 + 0,6·e^(−1,5) ≈ 0,3339 моль/л.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите начальную концентрацию вещества.
- Укажите константу расхода k со знаком минус в поле a.
- Введите постоянную скорость образования b.
- Задайте время и нажмите «Вычислить»; сравните результат со стационарным уровнем b/k.