Модель гипергеометрического распределения
Если из партии из N единиц, среди которых D бракованных, случайно отобрать n единиц, число бракованных в выборке подчиняется гипергеометрическому распределению. Оно отличается от биномиального тем, что отобранная единица не возвращается в партию, и вероятности последующих выборов меняются.
Формула считает число способов выбрать k бракованных из D и n − k годных из N − D, делённое на число всех способов выбрать n единиц из N. Калькулятор вычисляет это отношение через логарифмы, поэтому работает и для крупных партий до 20 000 штук.
Разбор на конкретных числах
Пусть в партии из 200 штук скрыто 10 бракованных, то есть 5 %. Вы проверяете 20 штук. Вероятность не найти ни одной дефектной единицы равна 0,3398, около 34 %. Вероятность найти ровно одну составляет 0,3974, а ровно две — 0,1975.
Получается, что почти в каждом третьем случае такая проверка пройдёт без единого обнаруженного дефекта, хотя 5 % партии бракованы. Если увеличить выборку до 60 штук, вероятность пропуска падает до 0,0256, то есть до 2,6 %.
Как использовать ноль найденных
Практичнее всего считать вероятность нулевого результата: она равна риску пропустить брак при заданной его доле. Вычтя её из единицы, вы получаете вероятность обнаружить хотя бы одну дефектную единицу, то есть шанс, что проверка сработает.
Подбирайте объём выборки под допустимый для вас риск. Если вы не готовы пропустить партию с долей брака в пять процентов более чем в одном случае из десяти, проверяйте столько единиц, чтобы вероятность нуля не превышала 0,1. Для этого меняйте размер выборки и пересчитывайте.
- задавайте несколько сценариев доли брака;
- сравнивайте риск пропуска при разных объёмах выборки;
- учитывайте стоимость проверки и стоимость пропущенного брака.
Условие случайности
Вся арифметика верна только для случайной выборки. Если взять коробки, лежащие сверху у входа, брак, сосредоточенный в глубине паллеты, останется незамеченным независимо от объёма выборки. Выбирайте места проверки по жребию из разных паллет, рядов и слоёв.
Особенно осторожно относитесь к брачным партиям, где дефект возникает пачками: в одной упаковке или после сбоя оборудования. В такой ситуации вероятность обнаружения зависит от того, попала ли выборка на проблемную пачку, и расчёт для независимых единиц будет слишком оптимистичным.
Что расчёт не заменяет
Страница не содержит планов выборочной приёмки из стандартов и не вводит допустимых уровней качества. Если приёмка регулируется договором или стандартом, следуйте им, а калькулятор используйте для понимания риска.
Результат зависит от предположения о числе бракованных в партии. Реальное значение неизвестно, поэтому смотрите диапазон сценариев, а не единственное число. Расчёт не является гарантией качества партии.
Формула расчёта
P(X = k) = C(D, k) · C(N − D, n − k) / C(N, n)
Проверенные примеры
В партии 200 штук, из них 10 бракованных. Проверяются 20 штук. Какова вероятность не найти ни одной дефектной?
P(X = 0) = C(10, 0) · C(190, 20) / C(200, 20) = 0,3398, то есть около 34 %.
Те же условия: партия 200, брака 10, проверяются 20 штук. Вероятность найти ровно одну бракованную?
P(X = 1) = C(10, 1) · C(190, 19) / C(200, 20) = 0,3974, около 39,7 %.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите размер партии и предполагаемое число бракованных единиц в ней.
- Укажите размер выборки, которую готовы проверить.
- Задайте число бракованных единиц в выборке, вероятность которого интересует.
- Нажмите «Вычислить»; чтобы узнать риск пропуска брака, поставьте ноль.