Биномиальная модель в генетике
Если потомки получают признак независимо друг от друга и с одной и той же вероятностью p, то вероятность ровно k носителей среди n потомков равна C(n, k)·p^k·(1−p)^(n−k). Здесь C(n, k) — число способов выбрать, какие именно k потомков получат признак.
Независимость обеспечивается тем, что у каждого потомка гаметы родителей объединяются заново: исход предыдущего ребёнка не влияет на следующего. Это справедливо для менделевского наследования одного гена, а не для признаков, которые зависят от общей среды развития.
Как определить вероятность p
При скрещивании двух гетерозигот Aa × Aa потомки расщепляются по генотипу 1 AA : 2 Aa : 1 aa, поэтому рецессивный фенотип aa имеет p = 0,25, а доминантный — p = 0,75. Для анализирующего скрещивания Aa × aa каждый из двух фенотипов даёт p = 0,5.
Вероятность пола у ребёнка при равном числе гамет X и Y можно взять равной 0,5. В более сложных случаях, например при дигибридном скрещивании, p строится перемножением независимых вероятностей: вероятность рецессивного фенотипа по обоим признакам равна 1/4 · 1/4 = 1/16 = 0,0625 при независимом наследовании.
Числовые примеры
Рецессивный признак при Aa × Aa в семье из четырёх детей: ровно один ребёнок aa с вероятностью 4 · 0,25 · 0,75³ = 0,421875, ни одного — 0,75⁴ ≈ 0,3164, трое из трёх — 0,25³ = 0,015625. Значит, расщепление 3:1 в такой семье нетипично только на первый взгляд.
Для анализирующего скрещивания при n = 10 вероятность ровно пяти потомков с признаком равна 252/1024 ≈ 0,2461. Это максимум распределения, но всё же он составляет менее четверти: почти в трёх случаях из четырёх расщепление окажется иным, чем 5:5.
Задачи «хотя бы один» и «не менее k»
Вероятность хотя бы одного потомка с признаком удобнее считать через дополнение: 1 − P(k = 0). Для четырёх детей и p = 0,25 она равна 1 − 0,3164 ≈ 0,684. Для этого достаточно ввести k = 0 и вычесть результат из единицы.
Вероятность «не менее k» равна сумме вероятностей для k, k+1, …, n; калькулятор считает одно значение, поэтому такие суммы получают, запуская расчёт для каждого значения k и складывая результаты. Для больших n удобнее брать дополнение и суммировать меньшее число слагаемых.
Когда модель не работает
Биномиальная модель предполагает независимость потомков и постоянную p. Она нарушается при сцепленных генах, неполном проникновении, летальных генотипах, влиянии материнского эффекта и при выборке, отобранной по признаку, например когда в расчёт попадают только семьи с уже известным больным ребёнком.
Кроме того, результат — вероятность, а не прогноз для конкретной семьи. Для медицинских решений нужна консультация врача-генетика с учётом семейной истории и молекулярных данных, а калькулятор годится для учебных и оценочных задач по общим законам наследования.
Формула расчёта
P(k из n) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k)
Проверенные примеры
Оба родителя гетерозиготны (Aa × Aa), p = 0,25. Какова вероятность, что ровно один из четырёх детей будет aa?
C(4,1) = 4; P = 4 · 0,25 · 0,75³ = 0,421875, то есть около 42,2 процента.
Среди 10 потомков при p = 0,5 найдите вероятность ровно пяти особей с признаком.
C(10,5) = 252; P = 252 · 0,5¹⁰ = 252/1024 ≈ 0,2461.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Определите вероятность p для одного потомка по схеме скрещивания (по закону расщепления Менделя).
- Введите число потомков n и число потомков с интересующим признаком k.
- Нажмите «Рассчитать»; для вероятности «хотя бы один» вычтите результат при k = 0 из единицы.