Формулировка закона и выбор единиц
В общем виде T² = 4π²·a³ / (G·M). Для Солнца и тел малой массы можно взять единицы, в которых Земля имеет a = 1 а. е. и T = 1 год. Тогда константа становится единицей, и T² = a³, откуда T = a^(3/2).
Большая полуось — половина наибольшего диаметра эллипса. Для круговой орбиты она совпадает с радиусом. Период здесь — сидерический, то есть время одного оборота относительно звёзд.
Примеры для планет и далёких тел
Для Марса a ≈ 1,524 а. е. и T ≈ 1,881 года. Для Юпитера a ≈ 5,2044 а. е. и T ≈ 11,87 года, для Меркурия a ≈ 0,387 а. е. и T ≈ 0,241 года, то есть около 88 суток.
Объект на расстоянии 39,48 а. е. обращается за 248 лет. Эти значения показывают, как быстро период растёт с расстоянием: утроение полуоси увеличивает период примерно в пять с лишним раз.
Как подготовить входные данные
Если полуось дана в километрах, разделите её на 149 597 870,7 и получите астрономические единицы. Для комет с перигелием и афелием полуось равна среднему из этих расстояний. Эксцентриситет на период не влияет — важна только полуось.
Показатель степени оставьте равным 1,5. Любое другое значение даст величину, не имеющую отношения к периоду. Поле оставлено видимым, чтобы формулу можно было проверить и учебно изменить.
Границы применимости закона в таком виде
Формула T² = a³ верна для тел, обращающихся вокруг Солнца, когда масса тела мала по сравнению с солнечной. Для двойных звёзд и систем спутников нужно учитывать суммарную массу и переходить к общей форме закона.
Реальные орбиты возмущаются притяжением планет, поэтому наблюдаемый период слегка отличается от расчётного. Для навигации и точных эфемерид используют численное интегрирование, а не одну формулу.
Где применяют закон и как проверять результат
Закон применяют, когда по наблюдаемой орбите астероида или кометы нужно оценить период, и наоборот, когда по периоду находят размер орбиты. В учебных задачах он служит способом сопоставить данные о планетах без вычисления гравитационной постоянной.
Для проверки результата возьмите Землю: при a = 1 а. е. получится ровно 1 год. Если период Венеры вышел больше года, вы, вероятно, подставили полуось больше единицы; Венера лежит внутри орбиты Земли и обращается быстрее.
Обратная задача решается так: a = T^(2/3). Например, объект с периодом 8 лет имеет полуось 4 а. е., так как 8^(2/3) = 4. Такой переход удобно использовать для первичных оценок орбит открытых малых тел.
Кроме периода в годах, часто нужен период в сутках. Умножьте результат на 365,25: для Марса получится около 687 суток, для Юпитера — около 4335 суток. Эти значения совпадают с данными справочников с точностью до нескольких суток.
Если орбита вытянута, помните, что скорость тела на ней меняется: быстрее у перигелия, медленнее у афелия. Период же определяется только большой полуосью, и это одно из самых изящных следствий третьего закона.
Формула расчёта
T = a^(3/2), T² = a³
Проверенные примеры
a = 1,524 а. е.
T = 1,524^1,5 ≈ 1,881 года, около 687 суток.
a = 5,2044 а. е.
T = 5,2044^1,5 ≈ 11,87 года.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Выразите большую полуось орбиты в астрономических единицах.
- Введите её в первое поле, оставьте показатель степени 1,5.
- Нажмите «Вычислить» и получите период в земных годах.
- Для суток умножьте результат на 365,25.