Третий закон Кеплера в удобных единицах
Кеплер установил, что отношение квадрата периода обращения к кубу большой полуоси одинаково для всех планет Солнца. Если период измерять в земных годах, а полуось в астрономических единицах, то константа равна единице: T² = a³. Для Земли T = 1 год и a = 1 а. е. — закон выполняется тривиально.
Чтобы по периоду найти расстояние, достаточно извлечь из T² кубический корень: a = (T²)^(1/3) = T^(2/3). Именно эту степень вычисляет калькулятор.
Примеры: от Меркурия до Нептуна
Меркурий обращается за 0,2408 года, откуда a ≈ 0,387 а. е. Юпитер с периодом 11,862 года имеет a ≈ 5,201 а. е., Сатурн с 29,457 года — 9,538 а. е., Нептун с 164,8 года — около 30,06 а. е. Эти значения совпадают со справочными в пределах нескольких тысячных; небольшие расхождения для Юпитера вызваны тем, что в точной форме закона учитывается его масса и притяжение других тел.
Кроме планет, формулу применяют к астероидам и кометам: период 3,5 года соответствует a ≈ 2,3 а. е., то есть главному поясу астероидов. Проще всего проверить расчёт на кубах: период 8 лет даёт a = 4 а. е., период 27 лет — 9 а. е., потому что 8 = 4^(3/2), а 27 = 9^(3/2).
Единицы и перевод в километры
Одна астрономическая единица равна 149 597 870,7 км. Чтобы выразить полуось в километрах, умножьте результат на это число: для Юпитера 5,201 а. е. составляют около 778 млн км.
Период должен быть в земных годах. Если известны сутки, разделите их на 365,25; для периода в 4332,6 суток получится 11,862 года, и дальше расчёт идёт как в примере.
Где закон работает, а где нет
Формула T² = a³ в единицах «год — а. е.» верна только для тел, масса которых мала по сравнению с солнечной, и орбита которых определяется Солнцем. Для спутников планет в закон входит масса планеты, и нужна полная форма T² = 4π²a³/(GM).
Реальные орбиты слегка возмущаются другими планетами, поэтому результат — модель первого приближения, пригодная для образовательных задач и оценок.
О точности вычисления
Показатель степени 2/3 записан десятичной дробью 0,6666666667, и ошибка округления порядка 3·10⁻¹⁰ в показателе приводит к относительной ошибке результата порядка 10⁻⁹ — на практике незаметной. Входные значения периода известны гораздо хуже.
Большая полуось — не среднее арифметическое расстояний в перигелии и афелии по времени, а их полусумма; эксцентриситет орбиты калькулятор не использует.
Формула расчёта
T² = a³, a = T^(2/3)
Проверенные примеры
Период обращения Юпитера около 11,862 года.
a = 11,862^(2/3) ≈ 5,201 а. е., что близко к справочным 5,2 а. е.
Малое тело обращается вокруг Солнца за 8 лет.
T² = 64, a³ = 64, a = 4 а. е.
Период 0,2408 года.
a = 0,2408^(2/3) ≈ 0,387 а. е. ≈ 57,9 млн км.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Узнайте сидерический период T обращения тела вокруг Солнца в земных годах.
- Введите T в первое поле; показатель 0,6666666667 оставьте без изменений.
- Нажмите «Вычислить» и получите большую полуось a в астрономических единицах.
- Для километров умножьте результат на 149 597 870,7.