Вывод формулы периода
Спутник массой m на круговой орбите радиуса r удерживается силой тяготения G·M·m / r². Эта сила играет роль центростремительной, поэтому G·M·m / r² = m·ω²·r. Обозначив μ = G·M, получаем ω² = μ / r³, откуда период T = 2π / ω = 2π·√(r³ / μ).
Масса спутника сокращается, поэтому период зависит только от радиуса орбиты и свойств центрального тела. Параметр μ определяется из наблюдений точнее, чем отдельно G и M, и именно его публикуют в справочниках по небесной механике.
Связь с третьим законом Кеплера
Из формулы следует T² = 4π²·r³ / μ, то есть квадрат периода пропорционален кубу радиуса орбиты. Это и есть третий закон Кеплера для круговой орбиты. Отношение T²/r³ одинаково для всех тел, обращающихся вокруг одного центра, и позволяет по периоду луны оценить массу планеты.
Практический вывод: при увеличении радиуса вдвое период растёт в 2^1,5 ≈ 2,83 раза. Поэтому внешние спутники движутся не только по большей окружности, но и медленнее, а их угловая скорость заметно ниже.
Орбиты вокруг Земли
Для Земли μ ≈ 3,986·10¹⁴ м³/с². Орбита на высоте 408 км имеет радиус 6779 км и период около 5555 с, или 92,6 минуты, поэтому станция делает примерно 15,5 витка в сутки. На радиусе, равном радиусу планеты, период составил бы примерно 84,4 минуты — нижний предел для любого околоземного спутника.
При радиусе 42 164 км период равен 86 164 с, то есть звёздным суткам. Если орбита лежит в плоскости экватора, спутник остаётся над одной точкой поверхности, и такую геостационарную орбиту используют для телевизионной и метеорологической связи. Орбита Луны с радиусом около 384 400 км даёт примерно 27,4 суток.
Другие планеты и спутники
Формула работает для любого центрального тела, нужно лишь подставить его гравитационный параметр. Для Луны μ ≈ 4,903·10¹² м³/с², и низкая орбита на высоте 100 км над поверхностью радиусом 1737 км даёт период около 7067 с, то есть чуть меньше двух часов. Для Марса μ ≈ 4,283·10¹³ м³/с², низкая орбита высотой 400 км обращается примерно за 7083 с.
Параметр μ вводится в м³/с². Если в справочнике он дан в км³/с², умножьте значение на 10⁹: например, 398 600 км³/с² соответствует 3,986·10¹⁴ м³/с². Ошибка в этом множителе — самая частая причина абсурдных результатов.
Ограничения и допущения
Реальные орбиты редко идеально круговые: у большинства есть эксцентриситет, и период тогда определяется большой полуосью, а не радиусом. Для эллиптической орбиты в формулу подставляют большую полуось, но скорость вдоль неё меняется, и калькулятор описывает только круговой случай.
Кроме того, планеты не являются идеальными шарами: сжатие Земли, влияние Луны, Солнца и остатков атмосферы медленно изменяют орбиту. Для оценок и учебных задач они несущественны, а для точных эфемерид применяют численное моделирование. Калькулятор принимает радиусы до миллиона километров, чего достаточно для околопланетных орбит.
Формула расчёта
T = 2π · √(r³ / μ), μ = G·M
Проверенные примеры
Спутник движется на высоте 408 км над поверхностью Земли (радиус 6371 км). Найдите период, μ = 3,986004418·10¹⁴ м³/с².
Радиус орбиты r = 6371 + 408 = 6779 км = 6,779·10⁶ м. T = 2π·√(r³/μ) ≈ 5555 с, то есть около 92,6 минуты: на такой высоте обращается Международная космическая станция.
Каков период при радиусе орбиты 42 164 170 м вокруг Земли?
T = 2π·√((4,216417·10⁷)³ / 3,986004418·10¹⁴) ≈ 86 164 с ≈ 23 ч 56 мин 4 с — это звёздные сутки, поэтому спутник «висит» над одной точкой экватора.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Сложите радиус планеты и высоту орбиты над поверхностью, переведите в метры.
- Введите гравитационный параметр центрального тела μ в м³/с².
- Нажмите «Рассчитать» и при необходимости переведите секунды в минуты или сутки.