Что показывает значение Φ(z)
Функция Φ(z) задаёт площадь под кривой плотности стандартной нормали левее точки z. Эта площадь равна вероятности того, что случайная величина не превысит z. При z = 0 она равна 0,5, потому что кривая симметрична, а при росте z стремится к единице.
Чтобы воспользоваться ею для реальных данных, исходное значение x стандартизуют: z = (x − μ) / σ. Если средний рост группы равен 170 см при отклонении 6 см, то рост 182 см даёт z = 2, и около 97,7 % людей будут ниже этого значения.
Именно поэтому таблица стандартной нормали одна на все случаи жизни: масштаб и сдвиг уже убраны стандартизацией, и остаётся лишь универсальная кривая.
Хвосты, интервалы и симметрия
Вероятность правого хвоста равна 1 − Φ(z). Для z = 1,96 она составляет 0,025, а значит, слева лежит 97,5 % значений. Из-за симметрии левый хвост при z = −1,96 тоже равен 0,025, поэтому вероятность оказаться вне интервала от −1,96 до 1,96 равна 0,05.
Вероятность попадания в интервал от a до b находится вычитанием: P(a < Z ≤ b) = Φ(b) − Φ(a). Для границ ±1, ±2 и ±3 получаются знаменитые доли 68,27 %, 95,45 % и 99,73 %, известные как «правило трёх сигм».
В проверке гипотез по z-критерию двусторонний p-value равен 2 · (1 − Φ(|z|)). Если наблюдённое z = 2,33, то 1 − Φ(2,33) ≈ 0,0099, и p-value близко к 0,0198, что ниже уровня значимости 0,05, но выше 0,01.
Числовой пример с тестом
Пусть результаты вступительного теста приблизительно нормальны: среднее 70 баллов, стандартное отклонение 8. Абитуриент набрал 78 баллов. Стандартизация даёт z = (78 − 70) / 8 = 1, а Φ(1) ≈ 0,8413. Это значит, что примерно 84 % участников написали тест не лучше, чем он.
Вопрос «какая доля набрала от 62 до 78» решается через два z. Нижняя граница даёт z = −1, верхняя z = 1, и ответ Φ(1) − Φ(−1) ≈ 0,6827. Ту же долю можно было бы получить, зная правило одной сигмы, но для границ 65 и 80 баллов без калькулятора уже не обойтись.
Обратная задача — по заданной вероятности найти границу — решается квантилем нормального распределения и в этом калькуляторе не выполняется: здесь требуется сам z, а не вероятность.
Точность вычисления и диапазон
Замкнутой формулы для интеграла плотности нормали не существует, поэтому используют приближения. Здесь применено рациональное приближение функции ошибок с абсолютной погрешностью порядка 10⁻⁷. Для табличных четырёх-шести знаков этого достаточно, но для хвостов вроде 10⁻¹⁰ относительная погрешность уже заметна.
Допустимый диапазон ограничен значениями от −12 до 12. Вероятность хвоста при z = 12 порядка 10⁻³³, и в реальных статистических задачах такие значения не встречаются. В крайних точках результат фактически равен нулю или единице.
Если ваша задача требует строгого контроля относительной точности малых вероятностей, например в оценке надёжности или физике частиц, нужны специализированные библиотеки, а не приближённая функция распределения.
Когда нормальную модель применять нельзя
Стандартная нормаль описывает только величины, близкие к нормальным: симметричные, с одним максимумом и лёгкими хвостами. Доходы, время ожидания, размеры файлов и подобные показатели обычно сильно скошены, и вероятность по z для них будет неверной.
Выход часто даёт центральная предельная теорема: среднее достаточно большой выборки ведёт себя почти нормально даже при ненормальных исходных данных. Тогда z считается для среднего: z = (x̄ − μ) / (σ / √n). Но при малых выборках и неизвестной σ вместо нормали нужно распределение Стьюдента.
Наконец, проверять нормальность нужно по данным: гистограмма, график квантилей, критерии согласия. Калькулятор лишь переводит число z в вероятность и не оценивает, уместна ли модель.
Формула расчёта
Φ(z) = ½ · [1 + erf(z / √2)]; P(Z > z) = 1 − Φ(z); P(a < Z ≤ b) = Φ(b) − Φ(a)
Проверенные примеры
Баллы теста распределены нормально со средним 70 и стандартным отклонением 8. Какая доля участников набрала не больше 78 баллов?
z = (78 − 70) / 8 = 1. Табличное значение Φ(1) ≈ 0,841345. Значит, около 84,1 % участников набрали не более 78 баллов, а выше — примерно 15,9 %.
Какова вероятность, что нормальная величина отклонится от среднего не более чем на одно стандартное отклонение?
Нужно найти P(−1 < Z ≤ 1) = Φ(1) − Φ(−1) = 0,841345 − 0,158655 = 0,682689, то есть примерно 68,27 %.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Если у вас исходная величина x со средним μ и стандартным отклонением σ, сначала найдите z = (x − μ) / σ.
- Впишите z в поле, при необходимости с минусом и десятичной точкой.
- Нажмите «Рассчитать»: результат P(Z ≤ z) — доля значений слева от точки; для правого хвоста вычтите её из единицы.