Непрерывные и дискретные распределения
Непрерывная случайная величина принимает любые значения на промежутке, а вероятность попасть в точку равна нулю: имеют смысл только вероятности интервалов, которые находят как разность значений функции распределения. Дискретная величина принимает отдельные значения, и у каждого есть собственная вероятность. Поэтому для неё «меньше 8» и «не больше 8» — разные события, и калькулятор различает все семь формулировок.
Плотность и вероятность в точке — не одно и то же. Плотность нормального закона в точке может быть больше единицы при малой σ и вероятностью не является; вероятностью является только площадь под кривой. Для дискретных законов в результатах показывается именно вероятность отдельного значения, для непрерывных — значение плотности.
Нормальное распределение и правило трёх сигм
Нормальное распределение задаётся средним μ и стандартным отклонением σ. Около 68 % значений лежат в пределах одной σ от среднего, около 95 % — двух, около 99,7 % — трёх. Рост людей, ошибки измерения, суммы большого числа малых независимых слагаемых хорошо описываются этим законом, что и объясняет его популярность.
Чтобы найти вероятность для конкретного значения, калькулятор стандартизует его и использует функцию распределения; обратная задача — квантиль — отвечает на вопрос, какое значение не превышается с заданной вероятностью. Так находят границы нормы, пороги отбора и допуски: например, значение, выше которого находятся лишь 10 % наблюдений.
Биномиальное и пуассоновское распределения
Биномиальное распределение описывает число успехов в n независимых испытаниях с одинаковой вероятностью p: брак в партии, число покупателей из выборки, правильные ответы при угадывании. Среднее равно n·p, дисперсия n·p·(1 − p). Условие независимости важно: при выборке без возвращения из небольшой партии верен гипергеометрический закон.
Распределение Пуассона моделирует число редких событий за фиксированный интервал: звонки в минуту, дефекты на метр ткани, обращения в сутки. Его среднее и дисперсия равны λ. Если дисперсия данных заметно больше среднего, процесс «неспокойнее» пуассоновского, и модель занижает риск крупных всплесков.
Экспоненциальное, Стьюдента и хи-квадрат
Экспоненциальное распределение описывает время ожидания следующего события в пуассоновском потоке и обладает отсутствием памяти: сколько вы уже ждали, не влияет на оставшееся время. Интенсивность λ и среднее время ожидания связаны соотношением 1/λ. Типичные задачи — срок службы без износа, интервалы между обращениями.
Распределения Стьюдента и хи-квадрат нужны для статистических критериев и интервалов: критические значения t используют в доверительных интервалах среднего, а значения χ² — в проверке гипотез о дисперсии и согласия. Калькулятор находит их квантили и вероятности без таблиц, а число степеней свободы можно задавать дробным.
Как пользоваться квантилями и сводкой моментов
Квантиль уровня q — значение x, для которого P(X ≤ x) = q. Для дискретных законов функция распределения ступенчатая, поэтому берётся наименьшее значение, при котором накопленная вероятность не меньше q, и итоговая вероятность может быть чуть выше заданной. Это стандартное определение, совпадающее с таблицами и статистическими пакетами.
Сводка показывает математическое ожидание, дисперсию, стандартное отклонение, медиану, асимметрию и избыточный эксцесс. Они помогают быстро понять форму закона: нулевая асимметрия у нормального и Стьюдента, положительная — у экспоненциального, Пуассона при малом λ и хи-квадрат. Таблицы значений и основных квантилей можно выгрузить в Excel.
Формула расчёта
F(x) = P(X ≤ x); P(a ≤ X ≤ b) = F(b) − F(a⁻); x_q = min{x : F(x) ≥ q}; Φ((x − μ)/σ) для нормального закона
Проверенные примеры
Нормальное распределение, μ = 170 см, σ = 8 см. Найти вероятность роста от 160 до 185 см.
P(160 ≤ X ≤ 185) = 0,864, то есть около 86,4 % мужчин; дополнение до единицы 0,136.
Биномиальное распределение, n = 20, p = 0,3. Найти вероятность не менее 8 успехов.
P(X ≥ 8) = 0,2277. Математическое ожидание 6, стандартное отклонение 2,0494.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Выберите распределение и введите его параметры.
- Укажите, что найти: вероятность события, интервала или квантиль.
- Введите значения a и b либо уровень q.
- Прочитайте вероятность, моменты закона и таблицы значений и квантилей.