Формула коэффициента Пирсона
Для двух рядов одинаковой длины сначала вычисляют средние. Затем для каждой пары находят отклонения от средних, перемножают их и суммируют. Эту сумму делят на корень из произведения сумм квадратов отклонений каждого ряда. Результат всегда лежит в пределах от −1 до 1.
Пример: нагрузка 1, 2, 3, 4, 5, результат 2, 4, 5, 4, 5. Средние равны 3 и 4. Сумма произведений отклонений составляет 6, сумма квадратов отклонений нагрузки — 10, результата — 6. Тогда r = 6 / √(10 · 6) = 6 / √60 ≈ 0,7746.
Величина r не зависит от единиц измерения: если пересчитать километры в мили или минуты в секунды, значение не изменится. Это удобно, когда показатели имеют разный масштаб.
Знак и величина связи
Положительное r означает, что при росте одного показателя другой в среднем тоже растёт, отрицательное — что убывает. Значения около нуля говорят об отсутствии линейной связи. Модуль r близок к единице, если точки почти лежат на одной прямой.
Знак нужно читать вместе с тем, как измерен результат. Если результат — время на дистанции, то отрицательная корреляция с объёмом тренировок означает улучшение результата при росте объёма, потому что меньшее время лучше. Для результата-расстояния, например в прыжках, было бы наоборот.
Пороги вроде «слабая», «средняя», «сильная» связь условны и различаются в разных областях. Калькулятор их не использует и возвращает чистое число; интерпретацию стоит привязывать к числу наблюдений и контексту.
Ограничения и ловушки
Пирсон измеряет только линейную связь. Если результат улучшается с ростом нагрузки до некоторой точки, а потом ухудшается из-за переутомления, коэффициент может оказаться близок к нулю, хотя зависимость есть. Поэтому полезно хотя бы мысленно нарисовать точки на графике.
Один выброс, например травма или болезнь в одну из недель, способен сильно изменить r. На малом числе наблюдений коэффициент нестабилен: две точки всегда дают r = 1 или −1, а пять-шесть точек легко дают высокое значение случайно.
Главное ограничение — корреляция не равна причинности. На оба показателя может влиять третий фактор: сезон, сон, питание, смена обуви. Поэтому результат подходит для наблюдений и вопросов, но не для категоричных выводов о тренировках.
Как готовить данные
Ряды должны быть парными: i-е значение нагрузки относится к тому же периоду, что i-е значение результата. Берите периоды одной длины, например недели, и записывайте результаты одним способом. Если нагрузка в одну неделю влияет на результат в следующую, сдвиньте ряд результатов на один период.
Если в одном из рядов все значения одинаковы, разброса нет и корреляцию вычислить нельзя; калькулятор сообщит об ошибке. То же произойдёт, если в рядах разное число значений. Дробные числа записывайте через точку, значения разделяйте пробелом или точкой с запятой.
Формула расчёта
r = Σ(x−x̄)(y−ȳ) / √(Σ(x−x̄)² · Σ(y−ȳ)²)
Проверенные примеры
Нагрузка 1, 2, 3, 4; результат 8, 6, 4, 2. Чему равен r?
Все точки лежат на одной прямой с отрицательным наклоном, поэтому r = −1.
Нагрузка 1, 2, 3, 4, 5; результат 2, 4, 5, 4, 5. Чему равен r?
Средние 3 и 4; Σ(x−x̄)(y−ȳ) = 6, Σ(x−x̄)² = 10, Σ(y−ȳ)² = 6; r = 6 / √60 ≈ 0,7746.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Запишите по порядку значения нагрузки (X) за каждый период.
- Введите результаты (Y) за те же периоды в том же порядке — их должно быть столько же.
- Нажмите «Рассчитать» и посмотрите знак и величину r; помните, что корреляция не равна причине.