Условия биномиальной модели
Модель верна, когда число попыток фиксировано, каждая попытка имеет два исхода (попал или нет), вероятность попадания одна и та же, а броски независимы. Для серии штрафных это разумное, но упрощённое допущение.
Если игрок «разогревается» или устаёт, вероятность меняется от броска к броску, и модель даёт лишь приближение. Для оценок и учебных задач его, как правило, достаточно.
Формула и числовой пример
P = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Для n = 10, k = 8, p = 0,8 сочетаний C(10, 8) = 45, вероятность одной конкретной последовательности 0,8⁸ · 0,2² ≈ 0,00671, итог 45 · 0,00671 ≈ 0,3020.
Для k = 10 имеем C = 1 и вероятность 0,8¹⁰ ≈ 0,1074. То есть идеальная серия из десяти случается примерно в каждом девятом-десятом случае, хотя игрок «стабильно попадает».
«Ровно k» и «не менее k»
Калькулятор считает вероятность точного числа попаданий. Если нужен шанс «не менее 8 из 10», сложите вероятности для 8, 9 и 10 или воспользуйтесь отдельным расчётом верхнего хвоста.
Иногда ровно k выглядит неожиданно малым: максимум распределения достигается около n·p, но даже в нём вероятность не превышает 30–35% при n = 10. Это нормальная изменчивость случайных серий.
Как оценить вероятность p
Возьмите число попаданий за прошлые матчи и разделите на число бросков. Чем больше бросков в статистике, тем устойчивее оценка. По выборке из 20 бросков оценка p может отличаться от истинной на десять процентов и более.
Кроме того, p меняется по ситуациям: в концовке матча она может отличаться. Учитывайте это при интерпретации.
Типичные ошибки при расчёте
Частые ошибки: вводить p в процентах (80 вместо 0,8), путать «ровно» и «не менее», задавать k больше n. Ещё одна ошибка — считать, что после серии промахов вероятность попадания «вырастает»: независимые броски не помнят прошлого.
Проверьте результат: вероятности для всех k от 0 до n в сумме дают единицу, а самые вероятные значения лежат около произведения n на p.
Где применяется
Расчёт полезен тренерам и болельщикам для оценки типичного разброса результатов, а также в учебных задачах по вероятности. Он помогает не переоценивать случайные серии.
Результат — вероятностная оценка и не прогноз матча. Не используйте его для принятия финансовых решений вроде ставок.
Замечание об области применения
Страница спортивно-аналитическая и не даёт рекомендаций по нагрузке или здоровью спортсмена. Вопросы тренировочного режима обсуждайте с тренером, а состояние здоровья — с врачом.
Калькулятор считает только вероятности по заданной модели и не знает ни формы игрока, ни обстоятельств матча.
Ещё один взгляд на результат
Полезно посмотреть на соседние значения: при n = 10 и p = 0,8 вероятность 7 попаданий около 20,1%, 8 попаданий около 30,2%, 9 попаданий около 26,8%. Вместе три соседних исхода дают почти 77%.
Это значит, что реализация 80% не означает «ровно восемь из десяти» каждый раз. Разброс результатов естественен, и оценивать форму игрока по одной короткой серии бросков ненадёжно.
Формула расчёта
P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
Проверенные примеры
n = 10, k = 8, p = 0,8.
C(10,8) = 45; 45 · 0,8⁸ · 0,2² = 0.301990, около 30,2%.
n = 5, k = 2, p = 0,6.
C(5,2) = 10; 10 · 0,6² · 0,4³ = 0.2304.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите число бросков в серии.
- Введите число попаданий, вероятность которого нужна.
- Введите вероятность попадания как десятичную дробь.
- Нажмите «Вычислить» и получите вероятность ровно k попаданий.