Хотя бы один успех: расчёт через дополнение
Вероятность провала в одной попытке равна 1 − p. Если попытки независимы, вероятность провала во всех k попытках равна (1 − p)ᵏ. Тогда вероятность хотя бы одного успеха — это 1 − (1 − p)ᵏ.
Остаётся решить неравенство 1 − (1 − p)ᵏ ≥ q. Логарифмирование даёт k ≥ ln(1 − q) / ln(1 − p). Поскольку число попыток целое, результат округляется вверх до ближайшего целого.
Два разобранных случая
При p = 0,7 и цели 0,95 получаем ln(0,05) / ln(0,3) ≈ 2,49, поэтому нужно три попытки. Проверка: за две попытки вероятность составит 1 − 0,3² = 0,91, что меньше 0,95, а за три — 1 − 0,3³ = 0,973.
При p = 0,1 и цели 0,9 отношение логарифмов равно примерно 21,85, значит нужно 22 попытки. Вероятность хотя бы одного успеха при этом около 0,9015, а за 21 попытку — около 0,8906, то есть цель ещё не достигнута.
Как быстро растёт число попыток
С уменьшением p число попыток растёт почти обратно пропорционально. Для p = 0,35 и цели 0,99 нужно 11 попыток, а для p = 0,2 и цели 0,8 — 8. Если вероятность успеха упадёт до 0,05, то для 90 % потребуется уже около 45 попыток.
Повышение уверенности тоже дорого: от 90 % к 99 % число попыток при том же p примерно удваивается. Поэтому «надёжный» результат на практике означает много попыток.
Когда модель перестаёт работать
Независимость попыток — сильное допущение: после промаха игрок может волноваться, соперник меняет защиту, усталость накапливается. Если вероятность меняется от попытки к попытке, формула даёт лишь грубую оценку.
Вероятность одной попытки нужно оценивать по достаточному числу прошлых попыток в похожих условиях. Страница не предсказывает исход матча и не заменяет работу тренера или аналитика.
Несколько исполнителей и общая цель
Если пробуют несколько игроков с одинаковой вероятностью, число попыток считается суммарно: цель «хотя бы одно попадание за раунд» ничем не отличается от последовательных попыток одного игрока. Для p = 0,2 и цели 0,8 нужно 8 попыток, то есть, например, четыре игрока по два броска.
Если вероятности у игроков разные, формула не применима напрямую: вероятность отсутствия попаданий равна произведению (1 − pᵢ) по всем попыткам. Её можно посчитать вручную, а затем сравнить с целью. Для такого расчёта подойдёт и перебор числа попыток от малых значений к большим.
Наконец, помните о выборе вероятности p. Если вы оцениваете её по десяти попыткам, разброс оценки велик, и расчёт числа попыток тоже будет приблизительным. Чем больше прошлых попыток в похожих условиях вы учтёте, тем надёжнее получится итоговое число для планирования серии. Для планирования серии удобно рассчитать несколько вариантов целевой вероятности, например 80, 90 и 95 процентов, и сравнить, как быстро растёт требуемое число попыток.
Формула расчёта
k = ⌈ ln(1 − q) / ln(1 − p) ⌉, P(T ≤ k) = 1 − (1 − p)ᵏ
Проверенные примеры
p = 0,7, цель 0,95.
ln(0,05)/ln(0,3) ≈ 2,49, округление вверх даёт k = 3; вероятность 1 − 0,3³ = 0,973.
p = 0,1, цель 0,9.
ln(0,1)/ln(0,9) ≈ 21,85, значит k = 22; вероятность 1 − 0,9²² ≈ 0,9015.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите вероятность успеха одной попытки в десятичной записи.
- Введите нужную вероятность хотя бы одного успеха.
- Нажмите «Вычислить» и получите минимальное число попыток.
- Сравните фактическую вероятность в результате с желаемой.