Вид уравнения и смысл параметров
Уравнение записывается в форме (p + a·n²/V²)(V − n·b) = nRT, а для расчёта давления его удобно решить относительно p: p = nRT / (V − n·b) − a·n² / V². Первое слагаемое учитывает, что молекулы имеют конечный размер, второе — что они притягиваются друг к другу.
Коэффициент b имеет смысл объёма, недоступного для движения, в расчёте на моль вещества и измеряется в литрах на моль. Коэффициент a отражает силу притяжения и измеряется в бар·л²/моль². Чем крупнее и «липче» молекулы, тем больше оба коэффициента.
Две поправки по отдельности
Поправка на объём заменяет V на V − n·b. Поскольку свободный объём меньше геометрического, молекулы чаще ударяют о стенки, и давление возрастает по сравнению с идеальным. При сильном сжатии эта поправка становится доминирующей, а давление быстро растёт при приближении V к n·b.
Поправка на притяжение вычитает a·n² / V². Молекула у стенки притягивается соседями внутрь сосуда, удар получается слабее, и давление падает. Величина поправки пропорциональна квадрату концентрации n/V, поэтому в разреженном газе она почти незаметна, а в плотном становится существенной.
Расчёт для углекислого газа
Возьмём 1 моль CO₂ при 300 К в сосуде объёмом 1 л, a = 3,64 бар·л²/моль², b = 0,04267 л/моль. Идеальный газ дал бы p = nRT / V = 0,08314·300 / 1 ≈ 24,94 бар. По уравнению Ван-дер-Ваальса: 24,94 / (1 − 0,04267) ≈ 26,05 бар, затем вычитаем поправку 3,64 бар и получаем около 22,42 бар.
Давление реального газа оказалось примерно на 10 % ниже идеального: при таком сжатии преобладает притяжение молекул. Доля объёма сосуда, занятая молекулами, составляет 4,3 %, и именно с ростом этой доли начинает преобладать отталкивающая часть, из-за чего при очень высоких давлениях реальный газ становится «жёстче» идеального.
Когда газ можно считать идеальным
Если в результате поправка притяжения составляет доли процента от идеального давления, а занятая молекулами доля объёма близка к нулю, расчёт по формуле pV = nRT даёт практически тот же ответ. Это типично для газов при атмосферном давлении и комнатной температуре. Калькулятор выводит обе величины, чтобы вы сами оценили допустимость идеального приближения.
С ростом давления и снижением температуры отклонения нарастают. Особенно заметны они для газов с сильным межмолекулярным притяжением, таких как водяной пар, аммиак или углекислый газ, тогда как гелий и водород в широком диапазоне близки к идеальным.
Пределы применимости уравнения
Уравнение Ван-дер-Ваальса — приближённая модель. Оно качественно предсказывает критическую точку и сжижение, но количественно уступает современным уравнениям состояния, таким как Пенга — Робинсона. Вблизи критической точки и в области фазового перехода его точность низка, а математические решения могут описывать неустойчивые состояния.
Поэтому калькулятор отклоняет вычисления, когда объём слишком близок к n·b или давление получается отрицательным. Он не определяет, в какой фазе находится вещество, и не годится для инженерных расчётов баллонов и трубопроводов, где используют стандартизованные методы и справочные данные.
Формула расчёта
p = n·R·T / (V − n·b) − a·n² / V²
Проверенные примеры
1 моль CO₂ при 300 К в сосуде 1 л, a = 3,64 бар·л²/моль², b = 0,04267 л/моль. Найдите давление.
n·R·T = 24,943 л·бар. Отталкивающая часть: 24,943 / (1 − 0,04267) ≈ 26,055 бар, поправка притяжения a·n²/V² = 3,64 бар. Итог: p ≈ 22,42 бар, тогда как идеальный газ дал бы 24,94 бар.
0,5 моль гелия при 273,15 К в объёме 22,414 л, a = 0,0346, b = 0,0238.
Поправки малы: идеальное давление около 0,507 бар, а реальное отличается менее чем на 0,1 %. При большом объёме и высокой температуре газ ведёт себя почти идеально.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите количество вещества, температуру в кельвинах и объём сосуда в литрах.
- Возьмите коэффициенты a и b для своего газа из справочника и впишите их.
- Нажмите «Рассчитать» и сравните давление реального газа с идеальным.