Работа газа как площадь под графиком p–V
При малом изменении объёма газ совершает работу δA = p·dV. Суммируя по всему процессу, получаем A = ∫p dV — площадь под кривой на диаграмме «давление — объём». Для расширения, когда объём растёт, работа газа положительна, для сжатия отрицательна: тогда работу над газом совершают внешние силы.
Площадь зависит от формы пути между начальным и конечным состояниями, а не только от них самих. Один и тот же переход разными путями даёт разную работу, и на этом основан цикл теплового двигателя. Калькулятор считает работу именно по тому пути, который вы задали точками.
Как заполнить таблицу и в каком порядке вводить точки
Объёмы вводят по возрастанию, давления — в тех же состояниях. Давление в паскалях и объём в кубических метрах дают джоули. Килопаскали и литры тоже дают джоули, потому что 1 кПа·л = 1 Дж; в других сочетаниях единиц ответ измеряется в произведении введённых единиц, например атмосфера на литр равна примерно 101,3 Дж.
Калькулятор требует строго возрастающих объёмов, поэтому изохорный участок, где объём не меняется, не вводят: работа на нём равна нулю. Для сжатия запишите точки в порядке роста объёма, получите положительную площадь и поменяйте знак — работа газа при сжатии отрицательна, а работа над газом положительна.
Пример: изотерма и ошибка метода трапеций
Возьмём изотермический процесс идеального газа с pV = 300 Дж: давления 300, 150, 100 и 75 кПа при объёмах 1, 2, 3 и 4 л. Метод трапеций даёт вклады интервалов 225, 125 и 87,5 Дж, итого 437,5 Дж.
Точное значение для изотермы A = p₁V₁·ln(V₂/V₁) = 300·ln 4 ≈ 415,9 Дж, поэтому трапеции завышают работу примерно на 5 %. Причина в том, что график изотермы выпуклый вниз и хорда лежит выше кривой. При шаге вдвое меньше (семь точек вместо четырёх) результат равен около 421,6 Дж, то есть ошибка падает до 1,4 % — примерно в четыре раза.
Типичные ошибки при расчёте работы газа
Первая ошибка — подставить избыточное давление вместо абсолютного: в формуле работы стоит полное давление газа, а не показание манометра относительно атмосферы. Вторая — смешать единицы давления и объёма без пересчёта: 1 атм и 1 литр дают около 101,3 Дж, а не 1 Дж.
Третья ошибка — применять формулу A = p·ΔV к процессу с меняющимся давлением. Она верна только для изобары: при 100 кПа и приращении объёма 2 л получается 200 Дж. Для остальных процессов нужны либо таблица, либо аналитическая формула, как для изотермы и адиабаты.
Связь с первым началом термодинамики и пределы применимости
Работа входит в первое начало термодинамики: Q = ΔU + A. При изотермическом расширении идеального газа внутренняя энергия не меняется, и вся полученная теплота превращается в работу; при адиабатном процессе газ работает за счёт убыли внутренней энергии. Страница считает только A, а теплоту и изменение энергии нужно искать отдельно.
Данные могут быть и экспериментальными, например с датчика давления и положения поршня. Расчёт не учитывает трение поршня, потери тепла и неравновесные эффекты, поэтому описывает работу газа на поршне, а не полезную работу механизма. Опыты с газом под давлением требуют соблюдения правил безопасности.
Формула расчёта
A = ∫ p dV ≈ Σ (Vᵢ₊₁ − Vᵢ) · (pᵢ + pᵢ₊₁) / 2
Проверенные примеры
Давления 300; 150; 100; 75 кПа при объёмах 1; 2; 3; 4 л (pV = 300 Дж). Найдите работу газа.
Трапеции: 225 + 125 + 87,5 = 437,5 Дж. Точное значение 300 · ln 4 ≈ 415,9 Дж, расхождение около 5 %.
Давление 100 кПа, объём растёт с 1 до 3 л.
A = 100 000 Па · 0,002 м³ = 200 Дж.
V = 2; 5; 6 л, p = 200; 120; 100 кПа.
160 кПа · 3 л + 110 кПа · 1 л = 480 + 110 = 590 Дж.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Выпишите состояния газа в процессе: объёмы V в кубометрах по возрастанию и соответствующие абсолютные давления p в паскалях.
- Введите объёмы в первое поле, давления — во второе, в том же порядке.
- Нажмите «Вычислить»: основной результат — работа газа в джоулях.
- Для сжатия запишите точки по возрастанию объёма и поменяйте знак результата.