Закон Стефана — Больцмана в одной строке
Полная мощность теплового излучения абсолютно чёрного тела равна P = σ·S·T⁴. Для реальных тел добавляется излучательная способность ε, но при неизменных площади и ε отношение мощностей определяется только температурами: P₂/P₁ = (T₂/T₁)⁴. Постоянная Стефана — Больцмана при этом сокращается, и знать её не нужно.
Именно поэтому калькулятору достаточно отношения температур. Нагрев вдвое по шкале Кельвина увеличивает мощность излучения в 16 раз, нагрев на 10 % — примерно в 1,46 раза (1,1⁴ = 1,4641), а охлаждение вдвое снижает мощность до 1/16 от прежней.
Почему температуры нужно брать в кельвинах
Закон записан для абсолютной температуры, отсчитываемой от абсолютного нуля. Градусы Цельсия сдвинуты на 273,15, поэтому отношение «40 °C к 20 °C» не равно двум. Правильные значения — 313,15 К и 293,15 К, их отношение около 1,0682, а четвёртая степень равна примерно 1,302.
Если подставить в калькулятор ошибочное отношение 2, получится 16, то есть завышение более чем в 12 раз. Для перевода прибавьте 273,15 к значению в градусах Цельсия, вычислите отношение и только его вводите. Температуру по Фаренгейту сначала переведите в градусы Цельсия или кельвины.
Пример: остывание нити накала
Спираль излучает при 2800 К. После снижения напряжения её температура упала до 2100 К при прежних площади и излучательной способности. Отношение температур 2100/2800 равно 0,75, а его четвёртая степень — 0,3164. Мощность излучения уменьшилась примерно в 3,16 раза и составила около 31,6 % от прежней.
Важно, что это мощность самого излучения тела. Реальный теплообмен определяется разностью излучения тела и окружения, то есть пропорционален T⁴ − T_среды⁴, а также конвекцией и теплопроводностью. Для раскалённой спирали поправка на комнатное окружение ничтожна: (300/2800)⁴ составляет около 0,013 % от собственного излучения.
Когда показатель степени отличается от четырёх
Поле показателя оставлено изменяемым, чтобы страницу можно было использовать для смежных степенных зависимостей. Если при нагреве меняется и площадь излучающей поверхности, например радиус звезды, мощность нужно дополнительно умножить на отношение площадей: для сферы это (R₂/R₁)². Тогда светимость сравнивают как (R₂/R₁)²·(T₂/T₁)⁴.
Для других законов показатель иной: длина волны максимума излучения по закону смещения Вина обратно пропорциональна температуре, то есть n = −1. Для излучения с узким спектром, например светодиода, закон Стефана — Больцмана неприменим: он описывает полное тепловое излучение, близкое к излучению чёрного тела.
Ограничения и меры предосторожности
Закон точен для абсолютно чёрного тела, а у реальных материалов излучательная способность зависит от температуры, длины волны и состояния поверхности. Если она заметно меняется при нагреве, мощность растёт быстрее или медленнее четвёртой степени, и калькулятор даёт лишь ориентир.
Расчёт не оценивает безопасность нагретых поверхностей: тела с температурой в сотни градусов вызывают ожоги и пожары. Решения по печам, нагревателям и теплоизоляции принимают по нормативам и данным производителя.
Формула расчёта
P₂ / P₁ = (T₂ / T₁)ⁿ, n = 4
Проверенные примеры
Температура тела выросла с 300 до 600 К. Во сколько раз изменилась мощность излучения?
(600 / 300)⁴ = 2⁴ = 16: излучение возросло в 16 раз.
Тело нагрели с 20 до 40 °C.
T₁ = 293,15 К, T₂ = 313,15 К, отношение ≈ 1,0682, 1,0682⁴ ≈ 1,302: рост около 30 %, а не в 16 раз, как получилось бы при ошибочном отношении 40 / 20 = 2.
Температура спирали упала с 2800 до 2100 К.
(2100 / 2800)⁴ = 0,75⁴ ≈ 0,316: мощность излучения уменьшилась примерно в 3,16 раза.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Переведите обе температуры в кельвины: прибавьте 273,15 к значению в градусах Цельсия.
- Разделите конечную температуру T₂ на начальную T₁ и введите отношение в первое поле.
- Оставьте показатель 4 для закона Стефана — Больцмана.
- Нажмите «Вычислить»: результат больше единицы означает рост мощности, меньше единицы — снижение.