Уравнение тонкой линзы
Формула линзы записывается как 1/f = 1/u + 1/v. Здесь f — фокусное расстояние, u — расстояние от предмета до линзы, v — расстояние от линзы до изображения. Величина 1/f называется оптической силой D и измеряется в диоптриях, то есть в обратных метрах: линза с f = 0,5 м имеет силу 2 дптр.
Для вычисления v уравнение преобразуют к виду 1/v = 1/f − 1/u. Если правая часть положительна, изображение действительное и находится по другую сторону линзы от предмета. Если отрицательна, изображение мнимое и расположено перед линзой.
Правила знаков
У собирающей (выпуклой) линзы фокусное расстояние положительное, у рассеивающей (вогнутой) — отрицательное. Расстояние до предмета считается положительным, когда предмет находится перед линзой, что соответствует обычной постановке задач. Положительное v означает действительное изображение, отрицательное — мнимое.
Линейное увеличение Γ = −v/u показывает отношение размеров изображения и предмета. Модуль больше единицы означает увеличение, меньше единицы — уменьшение. Знак минус указывает на перевёрнутое изображение, а плюс — на прямое.
Как положение предмета меняет изображение
Для собирающей линзы картина зависит от того, где находится предмет. За двойным фокусом изображение действительное, перевёрнутое и уменьшенное, как на сетчатке глаза или матрице камеры. Между фокусом и двойным фокусом оно остаётся действительным и перевёрнутым, но увеличено, как в проекторе.
Если предмет ближе фокуса, изображение становится мнимым, прямым и увеличенным: так работает лупа. Для рассеивающей линзы при любом положении предмета получается мнимое, прямое и уменьшенное изображение между линзой и фокусом, поэтому такие линзы применяют в очках от близорукости.
Пример расчёта
Возьмём собирающую линзу с f = 0,1 м и предмет на расстоянии 0,3 м. Вычисляем 1/v = 1/0,1 − 1/0,3 = 10 − 3,333 = 6,667 дптр, откуда v = 0,15 м. Увеличение Γ = −0,15 / 0,3 = −0,5. Изображение действительное, перевёрнутое и вдвое меньше предмета, оптическая сила линзы равна 10 дптр.
При u = 2f получается v = 2f и Γ = −1: изображение того же размера, перевёрнутое, на таком же расстоянии за линзой. Это удобная контрольная точка — если калькулятор показывает иное, скорее всего, перепутаны единицы или знак фокусного расстояния.
Ограничения модели
Формула справедлива для тонкой линзы и лучей, идущих близко к оптической оси под малыми углами. Реальные линзы имеют толщину, сферическую и хроматическую аберрации, поэтому изображение по краям размыто, а цвета фокусируются в разных точках. Для точного проектирования объективов применяют трассировку лучей.
Особый случай — предмет в фокальной плоскости. Лучи выходят из линзы параллельным пучком, изображение формально находится в бесконечности, и числовой ответ получить нельзя. Калькулятор в этом случае сообщает об ошибке; достаточно слегка изменить расстояние до предмета, чтобы увидеть, как v стремится к очень большому значению.
Формула расчёта
1/f = 1/u + 1/v; Γ = −v/u; D = 1/f
Проверенные примеры
Собирающая линза с f = 0,1 м, предмет на расстоянии 0,3 м. Где изображение?
1/v = 1/0,1 − 1/0,3 = 10 − 3,33 = 6,67 дптр, поэтому v = 0,15 м. Увеличение Γ = −0,15 / 0,3 = −0,5: изображение действительное, перевёрнутое и вдвое меньше предмета.
Та же линза, предмет на расстоянии 0,05 м. Что получится?
1/v = 10 − 20 = −10, значит v = −0,1 м. Изображение мнимое, находится с той же стороны, что и предмет, прямое, а увеличение Γ = 0,1 / 0,05 = 2 — это принцип лупы.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите фокусное расстояние в метрах, для рассеивающей линзы со знаком минус.
- Укажите расстояние от предмета до линзы в метрах.
- Нажмите «Рассчитать» и по знаку расстояния изображения определите его тип.