Что такое модуль Юнга
Для упругого стержня закон Гука записывается как σ = E·ε, где σ — напряжение, то есть сила на единицу площади исходного сечения, а ε — относительная деформация, то есть удлинение, делённое на начальную длину. Коэффициент E — свойство материала, а не конкретной детали: он не зависит от длины и сечения образца.
Для стали он составляет порядка 200 ГПа, для алюминиевых сплавов около 70 ГПа, а у пластмасс на один–два порядка меньше. Калькулятор не подставляет справочных значений и считает модуль только по вашим измерениям, поэтому результат можно сопоставить с паспортом материала.
Как работает подгонка прямой
Метод наименьших квадратов выбирает прямую σ = E·ε + σ₀ с наименьшей суммой квадратов отклонений. Наклон вычисляется по формуле E = Σ(εᵢ − ε̄)(σᵢ − σ̄) / Σ(εᵢ − ε̄)². Для надёжности нужны хотя бы четыре–пять точек, лежащих на упругом участке, и достаточный разброс по деформации.
Свободный член σ₀ в идеале равен нулю. Небольшое значение допустимо, а большое по модулю говорит о смещении нуля датчика, остаточных напряжениях или выборке зазоров в захватах. Коэффициент R² показывает, насколько точки близки к прямой, но не доказывает точность самого датчика.
Пример: стальной образец
Деформации 0,0005; 0,001; 0,0015 и 0,002 и напряжения 101; 199; 302 и 399 МПа дают наклон 199 400 МПа, то есть 199,4 ГПа, свободный член 1,0 МПа и R² = 0,99987. Прогноз напряжения при ε = 0,0025 равен 499,5 МПа; он имеет смысл, только если эта точка ещё лежит на упругом участке.
Для точек с идеальной зависимостью ε = 0,001; 0,002; 0,003 и σ = 70; 140; 210 МПа калькулятор возвращает E = 70 000 МПа = 70 ГПа и R² = 1. Это удобная проверка: если ввести эти числа и получить иное значение, вероятно, ошибка в формате списка.
Единицы и типичные ошибки
Напряжение вводят в МПа, то есть в Н/мм², а деформацию — безразмерной долей. Если прибор выдаёт деформацию в процентах или в микродеформациях (мкм/м), переведите её: 0,2 % — это 0,002, а 2000 мкм/м тоже 0,002. Ошибка в 100 раз при вводе процентов — самая частая.
Деформацию нужно брать по экстензометру. Перемещение траверсы испытательной машины включает податливость захватов и самой машины, поэтому даёт заниженный модуль. Напряжение считают по исходной площади сечения, пока шейка не образовалась.
Какой участок диаграммы использовать
Берите точки до предела пропорциональности, где диаграмма прямая. Включение области начала текучести заставляет прямую выгибаться, наклон падает, а R² уменьшается. Если первые точки лежат ниже прямой из-за выборки зазоров, исключите их или принимайте отрицательный свободный член как признак этого эффекта.
Результат полезно проверить, посчитав модуль по двум разным поддиапазонам: близкие значения подтверждают линейность. Если они заметно различаются, материал нелинеен, и модуль следует указывать с оговоркой о диапазоне.
Границы применимости
У резины, многих полимеров, бетона и чугуна нет чёткого линейного участка, поэтому модуль зависит от диапазона и скорости нагружения. Результат в таких случаях условен и пригоден лишь для сравнения.
Расчёт не заменяет аттестованных испытаний по стандартам и прочностных расчётов, для которых требуются нормативные методики, коэффициенты запаса и учёт температуры. Страница предназначена для учебной обработки данных и первичной оценки.
Формула расчёта
σ = E·ε + σ₀, E = Σ(εᵢ − ε̄)(σᵢ − σ̄) / Σ(εᵢ − ε̄)²
Проверенные примеры
ε = 0,0005; 0,001; 0,0015; 0,002, σ = 101; 199; 302; 399 МПа, прогноз при ε = 0,0025.
E ≈ 199 400 МПа ≈ 199,4 ГПа, свободный член ≈ 1,0 МПа, R² ≈ 0,99987. Прогноз напряжения при ε = 0,0025: 499,5 МПа.
ε = 0,001; 0,002; 0,003, σ = 70; 140; 210 МПа.
Все точки на прямой σ = 70 000·ε, значит E = 70 000 МПа = 70 ГПа; при ε = 0,004 напряжение 280 МПа.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Выберите упругий участок диаграммы растяжения, где точки идут вдоль прямой.
- Запишите деформации как безразмерные доли (проценты разделите на 100) и напряжения в МПа.
- Введите оба списка в одном порядке и деформацию для прогноза.
- Нажмите «Вычислить»: наклон — модуль Юнга в МПа, R² близок к 1 при хорошей линейности.